Номер 48.12, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.12. От прямоугольника размерами $324 \times 141$ мм отрезают квадраты со стороной 141 мм, пока не останется прямоугольник, у которого длина одной стороны меньше, чем 141 мм. От полученного прямоугольника снова отрезают квадраты, сторона которых равна длине его меньшей стороны, и т. д. Какова длина стороны последнего квадрата?

Этот процесс представляет собой геометрическую реализацию алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел, равных длинам сторон прямоугольника. Длина стороны последнего квадрата будет равна НОД(324, 141).

Шаг 1. Изначально имеем прямоугольник размером $324 \times 141$ мм. Меньшая сторона равна 141 мм. Определим, сколько квадратов со стороной 141 мм можно отрезать от большей стороны: $324 \div 141 = 2$ (остаток $42$). Это значит, что мы отрезаем 2 квадрата размером $141 \times 141$ мм. После этого останется прямоугольник, одна сторона которого по-прежнему 141 мм, а другая равна остатку: $324 - 2 \times 141 = 42$ мм. Новый прямоугольник имеет размеры $141 \times 42$ мм.

Шаг 2. Теперь работаем с прямоугольником $141 \times 42$ мм. Меньшая сторона — 42 мм. Отрезаем квадраты с этой стороной: $141 \div 42 = 3$ (остаток $15$). Отрезаем 3 квадрата $42 \times 42$ мм. Остается прямоугольник размерами $42 \times 15$ мм (где $15 = 141 - 3 \times 42$).

Шаг 3. Прямоугольник $42 \times 15$ мм. Меньшая сторона — 15 мм. $42 \div 15 = 2$ (остаток $12$). Отрезаем 2 квадрата $15 \times 15$ мм. Остается прямоугольник размерами $15 \times 12$ мм (где $12 = 42 - 2 \times 15$).

Шаг 4. Прямоугольник $15 \times 12$ мм. Меньшая сторона — 12 мм. $15 \div 12 = 1$ (остаток $3$). Отрезаем 1 квадрат $12 \times 12$ мм. Остается прямоугольник размерами $12 \times 3$ мм (где $3 = 15 - 1 \times 12$).

Шаг 5. Прямоугольник $12 \times 3$ мм. Меньшая сторона — 3 мм. $12 \div 3 = 4$ (остаток $0$). Отрезаем 4 квадрата $3 \times 3$ мм. Остатка не остается, прямоугольник полностью покрыт квадратами. Процесс завершен.

Последние квадраты, которые были отрезаны, имели сторону 3 мм.

Ответ: 3 мм