Номер 48.7, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.7. Докажите, что при любом $n \in \mathbb{Z}$ значение выражения:

1) $n^3 + 3n^2 + 2n$ кратно 6;

2) $n^4 - n^2$ кратно 12.

1) Докажем, что выражение $n^3 + 3n^2 + 2n$ кратно 6 при любом целом $n$.

Сначала разложим данное выражение на множители. Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2)$

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $n^2 + 3n + 2$. Его корнями являются числа $-1$ и $-2$, поскольку их сумма равна $-3$, а произведение равно $2$. Тогда:

$n^2 + 3n + 2 = (n - (-1))(n - (-2)) = (n+1)(n+2)$

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$n(n+1)(n+2)$

Это произведение трех последовательных целых чисел. Чтобы доказать, что оно кратно 6, необходимо доказать, что оно делится на 2 и на 3 (поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа, и $2 \cdot 3 = 6$).

Делимость на 2: Среди трех последовательных целых чисел есть как минимум одно четное число. Следовательно, их произведение всегда делится на 2.

Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел одно из них обязательно делится на 3. Следовательно, их произведение всегда делится на 3.

Поскольку выражение делится и на 2, и на 3, оно делится на их произведение, то есть на 6. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что выражение $n^4 - n^2$ кратно 12 при любом целом $n$.

Разложим выражение на множители, вынеся за скобки $n^2$:

$n^4 - n^2 = n^2(n^2 - 1)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$n^2(n^2 - 1) = n^2(n-1)(n+1)$

Переставим множители для удобства: $(n-1)n(n+1)n$.

Чтобы доказать, что выражение кратно 12, необходимо доказать, что оно делится на 3 и на 4 (поскольку 3 и 4 — взаимно простые числа, и $3 \cdot 4 = 12$).

Делимость на 3: В выражении присутствует произведение трех последовательных целых чисел $(n-1)n(n+1)$. Как показано выше, такое произведение всегда делится на 3. Следовательно, все выражение $n^2(n-1)(n+1)$ делится на 3.

Делимость на 4: Рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$.

Случай 1: $n$ — четное число.

Если $n$ — четное, его можно представить как $n = 2k$, где $k$ — целое число. Тогда $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Так как $n^2$ делится на 4, то и все произведение $n^2(n-1)(n+1)$ делится на 4.

Случай 2: $n$ — нечетное число.

Если $n$ — нечетное, то числа $n-1$ и $n+1$ являются двумя последовательными четными числами. Пусть $n = 2k+1$, где $k$ — целое число. Тогда:

$n-1 = 2k$

$n+1 = 2k+2 = 2(k+1)$

Их произведение равно $(n-1)(n+1) = 2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$. Это произведение очевидно делится на 4. Следовательно, и все выражение $n^2(n-1)(n+1)$ делится на 4.

Таким образом, выражение делится на 4 при любом целом $n$.

Поскольку выражение $n^4 - n^2$ делится и на 3, и на 4, оно делится на их произведение, то есть на 12. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.