gdz.top
Номер 48.4, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 48. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 48.4, страница 374.
№48.3
№48.4 (с. 374)
Условие. №48.4 (с. 374)
48.4. Докажите, что для любого $ n \in N $:
1) НОД $ (n; 2n + 1) = 1; $
2) НОД $ (8n + 4; 4n) = 4. $
Решение. №48.4 (с. 374)
1) Для доказательства воспользуемся свойством наибольшего общего делителя (НОД), основанным на алгоритме Евклида: для любых целых чисел $a, b, k$ справедливо равенство $НОД(a, b) = НОД(a, b - k \cdot a)$.
Применим это свойство к $НОД(n; 2n + 1)$. Положим $a = n$, $b = 2n + 1$ и $k = 2$.
$НОД(n; 2n + 1) = НОД(n; (2n + 1) - 2 \cdot n) = НОД(n; 1)$.
Наибольший общий делитель любого натурального числа $n$ и числа 1 равен 1.
Следовательно, $НОД(n; 2n + 1) = 1$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
2) Аналогично первому пункту, воспользуемся свойством $НОД(a, b) = НОД(a - k \cdot b, b)$.
Применим это свойство к $НОД(8n + 4; 4n)$. Положим $a = 8n + 4$, $b = 4n$ и $k = 2$.
$НОД(8n + 4; 4n) = НОД((8n + 4) - 2 \cdot 4n; 4n) = НОД(8n + 4 - 8n; 4n) = НОД(4; 4n)$.
Теперь необходимо найти $НОД(4; 4n)$. Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in N$), выражение $4n$ всегда кратно 4. Это означает, что 4 является общим делителем чисел 4 и $4n$. Так как 4 является наибольшим из всех делителей числа 4, то он же является и наибольшим общим делителем.
Следовательно, $НОД(4; 4n) = 4$, из чего следует, что и $НОД(8n + 4; 4n) = 4$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 48.4 расположенного на странице 374 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №48.4 (с. 374), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.