Номер 47.35, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.35. При делении натурального числа $n$ на 9 остаток равен неполному частному, при делении $n$ на 14 остаток также равен неполному частному. Найдите все возможные значения $n$.

Согласно условию, при делении натурального числа $n$ на 9 неполное частное равно остатку. Обозначим неполное частное и остаток как $q_1$. По определению деления с остатком, мы можем записать:$n = 9 \cdot q_1 + q_1$$n = 10 \cdot q_1$При делении на 9 остаток $q_1$ должен удовлетворять неравенству $0 \le q_1 < 9$. Поскольку $n$ — натуральное число, $n > 0$, значит $q_1$ должно быть целым положительным числом. Таким образом, возможные значения для $q_1$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$.

Аналогично, при делении натурального числа $n$ на 14 неполное частное равно остатку. Обозначим неполное частное и остаток как $q_2$. Это можно записать в виде уравнения:$n = 14 \cdot q_2 + q_2$$n = 15 \cdot q_2$При делении на 14 остаток $q_2$ должен удовлетворять неравенству $0 \le q_2 < 14$. Поскольку $n$ — натуральное число, $q_2$ также должно быть целым положительным числом. Таким образом, возможные значения для $q_2$: $1, 2, ..., 13$.

Так как оба выражения представляют одно и то же число $n$, мы можем их приравнять:$10 \cdot q_1 = 15 \cdot q_2$Разделим обе части уравнения на 5:$2 \cdot q_1 = 3 \cdot q_2$

Из этого равенства следует, что $2 \cdot q_1$ должно быть кратно 3. Так как 2 и 3 являются взаимно простыми числами, $q_1$ должно быть кратно 3. Учитывая возможные значения для $q_1$ (от 1 до 8), выберем те, которые кратны 3:$q_1 = 3$ или $q_1 = 6$.

Рассмотрим каждый из этих случаев:1. Если $q_1 = 3$, то $n = 10 \cdot 3 = 30$. Найдем соответствующее значение $q_2$:$2 \cdot 3 = 3 \cdot q_2 \implies 6 = 3 \cdot q_2 \implies q_2 = 2$. Значение $q_2=2$ находится в допустимом диапазоне (от 1 до 13). Следовательно, $n = 30$ является решением. Проверка: $30 \div 9 = 3$ (ост. 3); $30 \div 14 = 2$ (ост. 2). Условия выполняются.

2. Если $q_1 = 6$, то $n = 10 \cdot 6 = 60$. Найдем соответствующее значение $q_2$:$2 \cdot 6 = 3 \cdot q_2 \implies 12 = 3 \cdot q_2 \implies q_2 = 4$. Значение $q_2=4$ также находится в допустимом диапазоне (от 1 до 13). Следовательно, $n = 60$ является решением. Проверка: $60 \div 9 = 6$ (ост. 6); $60 \div 14 = 4$ (ост. 4). Условия выполняются.

Следующее возможное значение для $q_1$, кратное 3, это 9, но оно выходит за пределы допустимого диапазона $1 \le q_1 \le 8$. Таким образом, других решений нет.

Ответ: 30, 60.