Номер 47.34, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.34. Остаток при делении трёхзначного числа $m = \overline{2bb}$ на некоторое однозначное число равен 8. Найдите число $m$.

Пусть $m$ — искомое трёхзначное число, а $n$ — некоторый однозначный делитель. По условию, число $m$ имеет вид $\overline{2bb}$, где $b$ — это цифра от 0 до 9. В виде алгебраической суммы это число можно записать так: $m = 2 \cdot 100 + b \cdot 10 + b = 200 + 11b$.

Из условия задачи известно, что при делении числа $m$ на однозначное число $n$ остаток равен 8. В теории чисел существует правило: остаток от деления всегда должен быть строго меньше делителя. Следовательно, делитель $n$ должен быть больше остатка 8, то есть $n > 8$.

Поскольку $n$ — это однозначное число (т.е. $n \in \{1, 2, ..., 9\}$), единственным возможным значением для $n$, которое больше 8, является 9. Таким образом, делитель $n=9$.

Теперь мы знаем, что число $m$ при делении на 9 даёт в остатке 8. Это можно записать с помощью сравнения по модулю: $m \equiv 8 \pmod{9}$.

Для решения воспользуемся свойством сравнений и признаком делимости на 9: число даёт такой же остаток при делении на 9, как и сумма его цифр. Сумма цифр числа $m = \overline{2bb}$ равна $2 + b + b = 2 + 2b$. Следовательно, сумма цифр числа $m$ также должна давать остаток 8 при делении на 9: $2 + 2b \equiv 8 \pmod{9}$.

Решим полученное сравнение относительно $b$: $2b \equiv 8 - 2 \pmod{9}$ $2b \equiv 6 \pmod{9}$.

Нам нужно найти такую цифру $b$ (от 0 до 9), которая удовлетворяет этому условию. Проверим значения $b$ по порядку. При $b=0$, $2 \cdot 0 = 0 \not\equiv 6 \pmod{9}$. При $b=1$, $2 \cdot 1 = 2 \not\equiv 6 \pmod{9}$. При $b=2$, $2 \cdot 2 = 4 \not\equiv 6 \pmod{9}$. При $b=3$, $2 \cdot 3 = 6$, что удовлетворяет сравнению $6 \equiv 6 \pmod{9}$. Таким образом, мы нашли подходящее значение $b=3$. Дальнейшая проверка показывает, что среди цифр от 4 до 9 других решений нет. Единственное решение — $b=3$.

Зная значение $b$, находим искомое число $m$: $m = \overline{2bb} = 233$.

Проверим полученный результат: разделим 233 на 9. $233 = 9 \cdot 25 + 8$. Деление даёт частное 25 и остаток 8, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 233.