Номер 47.30, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.30. Докажите, что среди чисел вида $4^n + 4^m$ ($m$ и $n$ — натуральные числа) нет ни одного квадрата натурального числа.

Для доказательства того, что среди чисел вида $4^n + 4^m$ (где $m$ и $n$ – натуральные числа) нет ни одного квадрата натурального числа, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $m = n$

В этом случае выражение принимает вид:$4^n + 4^n = 2 \cdot 4^n = 2 \cdot (2^2)^n = 2 \cdot 2^{2n} = 2^{2n+1}$. Число является полным квадратом тогда и только тогда, когда в его разложении на простые множители все показатели степеней являются четными. В нашем случае простой множитель 2 входит в разложение в степени $2n+1$. Поскольку $n$ – натуральное число, $2n+1$ всегда является нечетным числом. Следовательно, число $2^{2n+1}$ не может быть квадратом натурального числа.

Случай 2: $m \neq n$

Без ограничения общности, предположим, что $m < n$. Тогда $n-m$ является натуральным числом. Обозначим $d = n-m$, где $d \geq 1$. Преобразуем исходное выражение, вынеся за скобки общий множитель $4^m$:$4^m + 4^n = 4^m(1 + 4^{n-m}) = 4^m(1 + 4^d)$. Заметим, что $4^m = (2^m)^2$ уже является полным квадратом. Чтобы произведение $4^m(1 + 4^d)$ было полным квадратом, необходимо, чтобы и второй множитель, $(1 + 4^d)$, также был полным квадратом.

Допустим, что $1 + 4^d$ является квадратом некоторого натурального числа $k$. То есть, $1 + 4^d = k^2$. Перепишем это уравнение:$4^d = k^2 - 1$$(2^d)^2 = (k-1)(k+1)$

Произведение двух чисел $(k-1)$ и $(k+1)$ является степенью двойки. Это означает, что каждое из этих чисел также должно быть степенью двойки. Пусть $k-1 = 2^a$ и $k+1 = 2^b$, где $a$ и $b$ – целые неотрицательные числа, и $b > a$.

Вычтем первое уравнение из второго:$(k+1) - (k-1) = 2^b - 2^a$$2 = 2^b - 2^a$$2 = 2^a(2^{b-a} - 1)$

Поскольку $d \ge 1$, то $k^2 = 1 + 4^d \ge 1+4=5$. Отсюда $k$ – натуральное число, большее 2, а значит $k-1 \ge 2$. Тогда $2^a = k-1 \ge 2$, что означает $a \ge 1$. Из уравнения $2 = 2^a(2^{b-a} - 1)$ следует, что $2^a$ должно быть делителем числа 2. Единственный делитель, который не меньше 2, это 2. Следовательно, $2^a=2$, что дает $a=1$.

Подставив $a=1$ в уравнение $2 = 2^a(2^{b-a} - 1)$, получаем:$2 = 2(2^{b-1} - 1)$$1 = 2^{b-1} - 1$$2 = 2^{b-1}$Отсюда $b-1=1$, что означает $b=2$.

Итак, единственно возможное решение — это $a=1$ и $b=2$. Это соответствует $k-1 = 2^1 = 2$, то есть $k=3$. Подставим это значение в наше предположение $1 + 4^d = k^2$:$1 + 4^d = 3^2 = 9$$4^d = 8$$(2^2)^d = 2^3$$2^{2d} = 2^3$$2d = 3$$d = 1.5$

Однако мы определили $d = n-m$ как натуральное число. Полученное значение $d=1.5$ не является натуральным числом, что приводит к противоречию. Следовательно, наше предположение о том, что $1 + 4^d$ может быть полным квадратом, неверно.

Таким образом, ни в одном из случаев ($m=n$ или $m \neq n$) число вида $4^n + 4^m$ не может быть квадратом натурального числа, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.