gdz.top
Номер 47.32, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 47. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 47.32, страница 367.
№47.31
№47.32 (с. 367)
Условие. №47.32 (с. 367)
47.32. О числах $m, n, p, q, r$ и $s$ известно, что $m^2 + n^2 + p^2 + q^2 + r^2 = s^2$.
Докажите, что хотя бы одно из этих чисел чётное.
Решение. №47.32 (с. 367)
Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что все шесть чисел — $m, n, p, q, r, s$ — являются нечётными.
Рассмотрим, какой остаток даёт квадрат нечётного числа при делении на 8.
Любое нечётное число $k$ можно представить в виде $k = 2a + 1$, где $a$ — целое число. Тогда его квадрат равен:$k^2 = (2a + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1 = 4a(a+1) + 1$.
Произведение двух последовательных целых чисел $a(a+1)$ всегда является чётным, то есть $a(a+1) = 2b$ для некоторого целого $b$. Подставив это в выражение для $k^2$, получим:$k^2 = 4(2b) + 1 = 8b + 1$.
Это означает, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1. В терминах сравнений по модулю это можно записать как $k^2 \equiv 1 \pmod{8}$.
Теперь вернёмся к исходному уравнению: $m^2 + n^2 + p^2 + q^2 + r^2 = s^2$. Рассмотрим это уравнение по модулю 8.
Так как по нашему предположению все числа $m, n, p, q, r, s$ нечётные, то квадраты каждого из них сравнимы с 1 по модулю 8.
Левая часть уравнения:$m^2 + n^2 + p^2 + q^2 + r^2 \equiv 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \pmod{8}$$m^2 + n^2 + p^2 + q^2 + r^2 \equiv 5 \pmod{8}$
Правая часть уравнения:$s^2 \equiv 1 \pmod{8}$
Таким образом, мы приходим к сравнению $5 \equiv 1 \pmod{8}$, что является неверным.
Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о том, что все шесть чисел нечётные, было неверным. Следовательно, хотя бы одно из чисел $m, n, p, q, r, s$ должно быть чётным.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 47.32 расположенного на странице 367 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №47.32 (с. 367), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.