Номер 47.33, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.33. Остаток при делении трёхзначного числа $n = \overline{aa5}$ на некоторое однозначное число равен 8. Найдите число $n$.

Пусть $n$ — искомое трёхзначное число, а $d$ — некоторый однозначный делитель.

По условию, число $n$ имеет вид $\overline{aa5}$. Это означает, что первая и вторая цифры числа одинаковы и равны $a$, а третья цифра равна 5. Запишем это число в виде суммы разрядных слагаемых:

$n = 100 \cdot a + 10 \cdot a + 5 = 110a + 5$.

Поскольку $n$ — трёхзначное число, его первая цифра $a$ не может быть нулём. Таким образом, $a$ — это цифра от 1 до 9.

Также по условию, остаток от деления числа $n$ на $d$ равен 8. Известно, что остаток от деления всегда меньше делителя. Следовательно, делитель $d$ должен быть больше остатка 8:

$d > 8$.

Так как $d$ — это однозначное число (от 1 до 9), единственное возможное значение для $d$, удовлетворяющее условию $d > 8$, — это $d=9$.

Теперь мы знаем, что число $n$ при делении на 9 даёт в остатке 8. Это можно записать в виде сравнения по модулю:

$n \equiv 8 \pmod{9}$.

Подставим в это сравнение выражение для $n$:

$110a + 5 \equiv 8 \pmod{9}$.

Вычтем 5 из обеих частей сравнения:

$110a \equiv 3 \pmod{9}$.

Упростим коэффициент при $a$. Найдём остаток от деления 110 на 9:

$110 = 12 \cdot 9 + 2$.

Следовательно, $110 \equiv 2 \pmod{9}$. Заменим 110 на 2 в нашем сравнении:

$2a \equiv 3 \pmod{9}$.

Нам нужно найти такую цифру $a$ (от 1 до 9), что $2a$ при делении на 9 даёт в остатке 3. Переберём возможные значения $a$:

• Если $a=1$, то $2 \cdot 1 = 2 \equiv 2 \pmod{9}$.
• Если $a=2$, то $2 \cdot 2 = 4 \equiv 4 \pmod{9}$.
• Если $a=3$, то $2 \cdot 3 = 6 \equiv 6 \pmod{9}$.
• Если $a=4$, то $2 \cdot 4 = 8 \equiv 8 \pmod{9}$.
• Если $a=5$, то $2 \cdot 5 = 10 \equiv 1 \pmod{9}$.
• Если $a=6$, то $2 \cdot 6 = 12 \equiv 3 \pmod{9}$. Это значение нам подходит.
• Если $a=7$, то $2 \cdot 7 = 14 \equiv 5 \pmod{9}$.
• Если $a=8$, то $2 \cdot 8 = 16 \equiv 7 \pmod{9}$.
• Если $a=9$, то $2 \cdot 9 = 18 \equiv 0 \pmod{9}$.

Единственное подходящее значение для $a$ — это 6.

Теперь найдём число $n$, подставив $a=6$ в его формулу $\overline{aa5}$:

$n = 665$.

Проверим результат: разделим 665 на 9.

$665 = 9 \cdot 73 + 8$.

Остаток действительно равен 8. Условие задачи выполнено.

Ответ: 665.