Номер 47.28, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.28. Используя сравнения по модулю, докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения:

1) $17^n + 25 \cdot 4^n$ кратно 13;

2) $15^n + 2^{3n} - 30$ кратно 7;

3) $6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n$ кратно 11;

4) $2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2}$ кратно 17.

1) Чтобы доказать, что выражение $17^n + 25 \cdot 4^n$ кратно 13 при любом натуральном $n$, мы должны показать, что оно сравнимо с нулем по модулю 13, то есть $17^n + 25 \cdot 4^n \equiv 0 \pmod{13}$.
Рассмотрим остатки от деления на 13 для каждого из оснований и коэффициентов:
$17 = 1 \cdot 13 + 4 \implies 17 \equiv 4 \pmod{13}$.
$25 = 1 \cdot 13 + 12 \implies 25 \equiv 12 \pmod{13}$, или удобнее использовать $25 \equiv -1 \pmod{13}$.
Теперь подставим эти сравнения в исходное выражение:
$17^n + 25 \cdot 4^n \equiv 4^n + (-1) \cdot 4^n \pmod{13} \equiv 4^n - 4^n \equiv 0 \pmod{13}$.
Так как остаток от деления выражения на 13 равен 0, то оно кратно 13, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Нужно доказать, что $15^n + 2^{3n} - 30$ кратно 7, то есть $15^n + 2^{3n} - 30 \equiv 0 \pmod{7}$.
Сначала упростим член $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$.
Теперь найдем остатки от деления на 7:
$15 = 2 \cdot 7 + 1 \implies 15 \equiv 1 \pmod{7}$.
$8 = 1 \cdot 7 + 1 \implies 8 \equiv 1 \pmod{7}$, следовательно $2^{3n} = 8^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{7}$.
$30 = 4 \cdot 7 + 2 \implies 30 \equiv 2 \pmod{7}$.
Подставим эти значения в выражение:
$15^n + 2^{3n} - 30 \equiv 1^n + 1 - 2 \pmod{7} \equiv 1 + 1 - 2 \equiv 0 \pmod{7}$.
Это доказывает, что выражение $15^n + 2^{3n} - 30$ кратно 7 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

3) Докажем, что $6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n$ кратно 11, то есть $6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n \equiv 0 \pmod{11}$.
Преобразуем выражение:
$6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n = (6^2)^n + 3^n \cdot 3^2 + 3^n = 36^n + 9 \cdot 3^n + 3^n = 36^n + (9+1) \cdot 3^n = 36^n + 10 \cdot 3^n$.
Рассмотрим это выражение по модулю 11:
$36 = 3 \cdot 11 + 3 \implies 36 \equiv 3 \pmod{11}$.
$10 \equiv -1 \pmod{11}$.
Подставляем:
$36^n + 10 \cdot 3^n \equiv 3^n + (-1) \cdot 3^n \pmod{11} \equiv 3^n - 3^n \equiv 0 \pmod{11}$.
Следовательно, выражение делится на 11 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

4) Докажем, что $2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2}$ кратно 17, то есть $2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2} \equiv 0 \pmod{17}$.
Упростим каждый член выражения:
$2^{5n+3} = 2^{5n} \cdot 2^3 = (2^5)^n \cdot 8 = 32^n \cdot 8$.
$5^n \cdot 3^{n+2} = 5^n \cdot 3^n \cdot 3^2 = (5 \cdot 3)^n \cdot 9 = 15^n \cdot 9$.
Выражение принимает вид $8 \cdot 32^n + 9 \cdot 15^n$.
Теперь рассмотрим его по модулю 17:
$32 = 1 \cdot 17 + 15 \implies 32 \equiv 15 \pmod{17}$.
Подставим это в выражение:
$8 \cdot 32^n + 9 \cdot 15^n \equiv 8 \cdot 15^n + 9 \cdot 15^n \pmod{17} \equiv (8+9) \cdot 15^n \pmod{17} \equiv 17 \cdot 15^n \pmod{17}$.
Так как $17 \equiv 0 \pmod{17}$, то $17 \cdot 15^n \equiv 0 \cdot 15^n \equiv 0 \pmod{17}$.
Следовательно, выражение делится на 17 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.