Номер 47.21, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.21. Известно, что $(m^2+n^2) \vdots 7$. Докажите, что $(m^2+n^2) \vdots 49$.

По условию задачи, сумма $m^2 + n^2$ делится на 7. Это можно записать в виде сравнения по модулю 7: $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{7}$.

Рассмотрим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 7. Любое целое число при делении на 7 может давать остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Найдем остатки от деления на 7 для их квадратов:

• $0^2 = 0 \equiv 0 \pmod{7}$
• $1^2 = 1 \equiv 1 \pmod{7}$
• $2^2 = 4 \equiv 4 \pmod{7}$
• $3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$
• $4^2 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$
• $5^2 = 25 \equiv 4 \pmod{7}$
• $6^2 = 36 \equiv 1 \pmod{7}$

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 7 может давать только остатки из множества $\{0, 1, 2, 4\}$.

Вернемся к условию $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{7}$. Это означает, что сумма остатков от деления $m^2$ и $n^2$ на 7 должна быть кратна 7. Пусть $r_1 = m^2 \pmod{7}$ и $r_2 = n^2 \pmod{7}$. Тогда $r_1, r_2 \in \{0, 1, 2, 4\}$. Мы ищем пары $(r_1, r_2)$, для которых $r_1 + r_2$ кратно 7.

Перебрав все возможные пары, мы увидим, что единственная комбинация, удовлетворяющая этому условию, это $0 + 0 = 0$. Никакая другая сумма двух чисел из множества $\{0, 1, 2, 4\}$ не делится на 7 (например, $1+2=3$, $1+4=5$, $2+4=6$, $4+4=8 \equiv 1 \pmod{7}$).

Следовательно, для выполнения условия $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{7}$ необходимо, чтобы и $m^2$, и $n^2$ по отдельности делились на 7, то есть:

$m^2 \equiv 0 \pmod{7}$ и $n^2 \equiv 0 \pmod{7}$.

Поскольку 7 — простое число, из того, что $m^2$ делится на 7, следует, что и само число $m$ должно делиться на 7. Аналогично, из того, что $n^2$ делится на 7, следует, что и $n$ должно делиться на 7.

Таким образом, мы можем представить числа $m$ и $n$ в виде:

$m = 7k$

$n = 7l$

где $k$ и $l$ — некоторые целые числа.

Теперь подставим эти выражения в сумму $m^2 + n^2$:

$m^2 + n^2 = (7k)^2 + (7l)^2 = 49k^2 + 49l^2 = 49(k^2 + l^2)$.

Поскольку $k$ и $l$ — целые числа, то $k^2 + l^2$ также является целым числом. Из полученного выражения видно, что сумма $m^2 + n^2$ является произведением числа 49 и целого числа $(k^2 + l^2)$, а значит, она делится на 49.

Таким образом, доказано, что если $(m^2 + n^2) \vdots 7$, то $(m^2 + n^2) \vdots 49$.

Ответ: Утверждение доказано.