Номер 47.14, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.14. Известно, что $a \equiv -4 \pmod{6}$, $b \equiv -9 \pmod{6}$. Найдите остаток при делении на 6 числа:

1) $3a + 4b$;

2) $a^2 - b$;

3) $b^2 + ba$.

Для начала найдем остатки от деления чисел $a$ и $b$ на 6. Остаток должен быть неотрицательным числом, меньшим 6.

По условию $a \equiv -4 \pmod{6}$. Прибавим к -4 число 6, чтобы получить положительный остаток:

$a \equiv -4 + 6 \pmod{6}$

$a \equiv 2 \pmod{6}$

Это означает, что число $a$ при делении на 6 дает остаток 2.

По условию $b \equiv -9 \pmod{6}$. Прибавим к -9 число 6 дважды:

$b \equiv -9 + 6 \cdot 2 \pmod{6}$

$b \equiv -9 + 12 \pmod{6}$

$b \equiv 3 \pmod{6}$

Это означает, что число $b$ при делении на 6 дает остаток 3.

Теперь, используя эти остатки, найдем остатки для заданных выражений.

1) Найдем остаток при делении на 6 числа $3a+4b$.

Используем свойства сравнений. Так как $a \equiv 2 \pmod{6}$ и $b \equiv 3 \pmod{6}$, то:

$3a \equiv 3 \cdot 2 \pmod{6} \implies 3a \equiv 6 \pmod{6} \implies 3a \equiv 0 \pmod{6}$

$4b \equiv 4 \cdot 3 \pmod{6} \implies 4b \equiv 12 \pmod{6} \implies 4b \equiv 0 \pmod{6}$

Сложим полученные сравнения:

$3a + 4b \equiv 0 + 0 \pmod{6}$

$3a + 4b \equiv 0 \pmod{6}$

Остаток при делении числа $3a+4b$ на 6 равен 0.

Ответ: 0

2) Найдем остаток при делении на 6 числа $a^2-b$.

Используем известные сравнения $a \equiv 2 \pmod{6}$ и $b \equiv 3 \pmod{6}$:

$a^2 \equiv 2^2 \pmod{6} \implies a^2 \equiv 4 \pmod{6}$

Теперь вычтем из этого сравнения сравнение для $b$:

$a^2 - b \equiv 4 - 3 \pmod{6}$

$a^2 - b \equiv 1 \pmod{6}$

Остаток при делении числа $a^2-b$ на 6 равен 1.

Ответ: 1

3) Найдем остаток при делении на 6 числа $b^2+ba$.

Используем известные сравнения $a \equiv 2 \pmod{6}$ и $b \equiv 3 \pmod{6}$:

$b^2 \equiv 3^2 \pmod{6} \implies b^2 \equiv 9 \pmod{6} \implies b^2 \equiv 3 \pmod{6}$

$ba \equiv 3 \cdot 2 \pmod{6} \implies ba \equiv 6 \pmod{6} \implies ba \equiv 0 \pmod{6}$

Сложим полученные сравнения:

$b^2 + ba \equiv 3 + 0 \pmod{6}$

$b^2 + ba \equiv 3 \pmod{6}$

Остаток при делении числа $b^2+ba$ на 6 равен 3.

Ответ: 3