Номер 47.20, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.20. Числа $a$ и $b$ таковы, что $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod 3$. Докажите, что $a \equiv 0 \pmod 3$ и $b \equiv 0 \pmod 3$.

По условию задачи дано, что $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Необходимо доказать, что из этого следует $a \equiv 0 \pmod{3}$ и $b \equiv 0 \pmod{3}$.

Для доказательства рассмотрим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 3. Любое целое число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

• Если $n \equiv 0 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа может быть сравним только с 0 или 1 по модулю 3. То есть, для любого целого числа $n$ справедливо, что $n^2 \equiv 0 \pmod{3}$ или $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

Теперь вернемся к исходному сравнению $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Поскольку $a^2$ и $b^2$ могут быть сравнимы только с 0 или 1 по модулю 3, рассмотрим все возможные комбинации их суммы по модулю 3:

• $0 + 0 = 0 \equiv 0 \pmod{3}$
• $0 + 1 = 1 \equiv 1 \pmod{3}$
• $1 + 0 = 1 \equiv 1 \pmod{3}$
• $1 + 1 = 2 \equiv 2 \pmod{3}$

Из этих четырех вариантов только один дает в сумме 0 по модулю 3: это случай, когда оба слагаемых ($a^2$ и $b^2$) сравнимы с 0 по модулю 3. Следовательно, для выполнения условия $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ необходимо, чтобы одновременно выполнялись два сравнения: $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Как мы установили ранее, $n^2 \equiv 0 \pmod{3}$ возможно только в том случае, если $n \equiv 0 \pmod{3}$. Поэтому из $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ следует, что $a \equiv 0 \pmod{3}$. Аналогично, из $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ следует, что $b \equiv 0 \pmod{3}$.

Таким образом, мы доказали, что если $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$, то $a \equiv 0 \pmod{3}$ и $b \equiv 0 \pmod{3}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.