Номер 47.24, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.24. Найдите остаток при делении числа $a$ на число $b$, если:

1) $a = 5^{99}, b = 3;$

2) $a = 7^{36}, b = 4;$

3) $a = 3^{70} + 2^{52}, b = 5.$

1) Для того чтобы найти остаток от деления $a = 5^{99}$ на $b = 3$, мы будем использовать сравнения по модулю 3.

Сначала найдем остаток от деления основания степени, числа 5, на 3. Так как $5 = 1 \cdot 3 + 2$, то $5$ дает остаток 2 при делении на 3. В терминах сравнений это записывается как $5 \equiv 2 \pmod{3}$.

Удобнее работать с меньшими по модулю числами. Заметим, что $5 = 2 \cdot 3 - 1$, поэтому $5 \equiv -1 \pmod{3}$.

Теперь воспользуемся свойством сравнений: если $x \equiv y \pmod{m}$, то $x^n \equiv y^n \pmod{m}$.

Применим это свойство к нашему случаю:

$5^{99} \equiv (-1)^{99} \pmod{3}$.

Поскольку 99 — нечетное число, то $(-1)^{99} = -1$.

Следовательно, $5^{99} \equiv -1 \pmod{3}$.

Остаток от деления должен быть неотрицательным числом в диапазоне от 0 до $b-1$. Чтобы преобразовать отрицательный результат $-1$ в стандартный остаток по модулю 3, мы прибавляем модуль:

$-1 \equiv -1 + 3 \equiv 2 \pmod{3}$.

Таким образом, остаток от деления $5^{99}$ на 3 равен 2.

Ответ: 2

2) Найдем остаток от деления $a = 7^{36}$ на $b = 4$.

Найдем остаток от деления основания 7 на 4. Так как $7 = 1 \cdot 4 + 3$, то $7 \equiv 3 \pmod{4}$. Также можно представить 7 как $7 = 2 \cdot 4 - 1$, откуда $7 \equiv -1 \pmod{4}$.

Используем второе, более простое для вычислений, сравнение:

$7^{36} \equiv (-1)^{36} \pmod{4}$.

Поскольку 36 — четное число, то $(-1)^{36} = 1$.

Следовательно, $7^{36} \equiv 1 \pmod{4}$.

Остаток от деления $7^{36}$ на 4 равен 1.

Ответ: 1

3) Найдем остаток от деления $a = 3^{70} + 2^{52}$ на $b = 5$.

Остаток суммы равен сумме остатков по тому же модулю. Поэтому мы найдем остатки от деления каждого слагаемого ($3^{70}$ и $2^{52}$) на 5, а затем сложим их.

Найдем остаток от деления $3^{70}$ на 5.

Рассмотрим, какие остатки дают степени числа 3 при делении на 5:

$3^1 = 3 \equiv 3 \pmod{5}$

$3^2 = 9 \equiv 4 \pmod{5}$

$3^3 = 27 \equiv 2 \pmod{5}$

$3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{5}$

Мы видим, что остатки повторяются с периодом (циклом) длиной 4. Чтобы найти остаток для $3^{70}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 70 на длину цикла 4:

$70 = 4 \cdot 17 + 2$.

Это означает, что остаток от деления $3^{70}$ на 5 будет таким же, как и остаток от деления $3^2$ на 5.

$3^{70} \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$.

Найдем остаток от деления $2^{52}$ на 5.

Рассмотрим степени числа 2 по модулю 5:

$2^1 = 2 \equiv 2 \pmod{5}$

$2^2 = 4 \equiv 4 \pmod{5}$

$2^3 = 8 \equiv 3 \pmod{5}$

$2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$

Здесь длина цикла также равна 4. Найдем остаток от деления показателя степени 52 на 4:

$52 = 4 \cdot 13 + 0$.

Остаток 0 означает, что показатель степени делится на длину цикла нацело. В этом случае остаток будет таким же, как у последнего члена цикла, то есть $2^4$.

$2^{52} = (2^4)^{13} \equiv 1^{13} \equiv 1 \pmod{5}$.

Сложим полученные остатки.

$3^{70} + 2^{52} \equiv 4 + 1 \pmod{5}$.

$4 + 1 = 5$.

Так как $5$ делится на $5$ без остатка, то $5 \equiv 0 \pmod{5}$.

Таким образом, остаток от деления $3^{70} + 2^{52}$ на 5 равен 0.

Ответ: 0