Номер 47.22, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.22. Решите в целых числах уравнение:

1) $x^2 - 3y = 8;$

2) $x^2 - 4y^3 = 11;$

3) $m^3 - 7n^2 = 19;$

4) $z^3 - 9t = 16.$

1) $x^2 - 3y = 8$
Перепишем уравнение в виде $x^2 - 8 = 3y$. Это означает, что разность $x^2 - 8$ должна делиться на 3 без остатка. Рассмотрим это условие с помощью сравнений по модулю 3:
$x^2 - 8 \equiv 0 \pmod{3}$
Поскольку $8 \equiv 2 \pmod{3}$, сравнение принимает вид:
$x^2 \equiv 2 \pmod{3}$
Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 3.
- Если $x$ делится на 3 ($x \equiv 0 \pmod{3}$), то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
- Если $x$ дает остаток 1 при делении на 3 ($x \equiv 1 \pmod{3}$), то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
- Если $x$ дает остаток 2 при делении на 3 ($x \equiv 2 \pmod{3}$), то $x^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Сравнение $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений в целых числах нет.

2) $x^2 - 4y^3 = 11$
Рассмотрим это уравнение по модулю 4.
$x^2 - 4y^3 \equiv 11 \pmod{4}$
Так как $4y^3$ делится на 4, то $4y^3 \equiv 0 \pmod{4}$. А $11 = 2 \cdot 4 + 3$, поэтому $11 \equiv 3 \pmod{4}$.
Сравнение принимает вид:
$x^2 \equiv 3 \pmod{4}$
Проверим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 4.
- Если $x$ — четное число, то $x = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $x^2 = (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
- Если $x$ — нечетное число, то $x = 2k+1$ для некоторого целого $k$. Тогда $x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k)+1 \equiv 1 \pmod{4}$.
Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1. Сравнение $x^2 \equiv 3 \pmod{4}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений в целых числах нет.

3) $m^3 - 7n^2 = 19$
Перепишем уравнение в виде $m^3 - 19 = 7n^2$. Это означает, что $m^3 - 19$ должно быть кратно 7. Рассмотрим это уравнение по модулю 7.
$m^3 - 19 \equiv 0 \pmod{7}$
Поскольку $19 = 2 \cdot 7 + 5$, то $19 \equiv 5 \pmod{7}$. Сравнение принимает вид:
$m^3 \equiv 5 \pmod{7}$
Проверим, какие остатки может давать куб целого числа при делении на 7.
- $0^3 \equiv 0 \pmod{7}$
- $1^3 \equiv 1 \pmod{7}$
- $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
- $3^3 = 27 \equiv 6 \pmod{7}$
- $4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{7}$
- $5^3 = 125 \equiv 6 \pmod{7}$
- $6^3 \equiv (-1)^3 = -1 \equiv 6 \pmod{7}$
Таким образом, куб любого целого числа при делении на 7 может давать в остатке только 0, 1 или 6. Сравнение $m^3 \equiv 5 \pmod{7}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений в целых числах нет.

4) $z^3 - 9t = 16$
Перепишем уравнение в виде $z^3 - 16 = 9t$. Это означает, что $z^3 - 16$ должно делиться на 9. Рассмотрим это уравнение по модулю 9.
$z^3 - 16 \equiv 0 \pmod{9}$
Поскольку $16 = 1 \cdot 9 + 7$, то $16 \equiv 7 \pmod{9}$. Сравнение принимает вид:
$z^3 \equiv 7 \pmod{9}$
Проверим, какие остатки может давать куб целого числа при делении на 9.
- Если $z$ кратно 3 ($z=3k$), то $z^3 = (3k)^3 = 27k^3 \equiv 0 \pmod{9}$.
- $1^3 \equiv 1 \pmod{9}$
- $2^3 = 8 \pmod{9}$
- $4^3 = 64 = 7 \cdot 9 + 1 \equiv 1 \pmod{9}$
- $5^3 = 125 = 13 \cdot 9 + 8 \equiv 8 \pmod{9}$
- $7^3 \equiv (-2)^3 = -8 \equiv 1 \pmod{9}$
- $8^3 \equiv (-1)^3 = -1 \equiv 8 \pmod{9}$
Таким образом, куб любого целого числа при делении на 9 может давать в остатке только 0, 1 или 8. Сравнение $z^3 \equiv 7 \pmod{9}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений в целых числах нет.