Номер 47.18, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.18. Докажите, что значение выражения $m^3$ при делении на 7 даёт в остатке 0, 1 или 6.

Для доказательства этого утверждения мы рассмотрим все возможные остатки от деления произвольного целого числа $m$ на 7. Любое целое число $m$ при делении на 7 может давать в остатке одно из следующих чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Остаток от деления $m^3$ на 7 зависит только от остатка, который дает $m$ при делении на 7. Если $m$ при делении на 7 дает остаток $r$, то это можно записать в виде сравнения по модулю: $m \equiv r \pmod{7}$. Тогда $m^3 \equiv r^3 \pmod{7}$. Нам необходимо вычислить остатки от деления $r^3$ на 7 для каждого возможного значения $r$.

Рассмотрим все случаи:

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 0, то $m^3$ делится на 7 без остатка. Остаток от деления $m^3$ на 7 равен $0^3 = 0$.

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 1, то остаток от деления $m^3$ на 7 равен $1^3 = 1$.

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 2, то остаток от деления $m^3$ на 7 равен $2^3 = 8$. Так как $8 = 1 \cdot 7 + 1$, остаток равен 1.

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 3, то остаток от деления $m^3$ на 7 равен $3^3 = 27$. Так как $27 = 3 \cdot 7 + 6$, остаток равен 6.

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 4, то остаток от деления $m^3$ на 7 равен $4^3 = 64$. Так как $64 = 9 \cdot 7 + 1$, остаток равен 1.

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 5, то остаток от деления $m^3$ на 7 равен $5^3 = 125$. Так как $125 = 17 \cdot 7 + 6$, остаток равен 6.

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 6, то остаток от деления $m^3$ на 7 равен $6^3 = 216$. Так как $216 = 30 \cdot 7 + 6$, остаток равен 6.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и видим, что остатки от деления $m^3$ на 7 могут быть только 0, 1 или 6. Утверждение доказано.

Ответ: Перебрав все возможные остатки от деления числа $m$ на 7, мы доказали, что значение выражения $m^3$ при делении на 7 даёт в остатке только 0, 1 или 6.