Страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.13. Известно, что $a \equiv -11 \pmod{8}$, $b \equiv -2 \pmod{8}$. Найдите остаток при делении на 8 числа:

1) $a + b$

2) $a - b$

3) $2a - 3b$

4) $ab$

5) $a^2$

6) $b^3$

Для решения задачи сначала найдем остатки от деления чисел $a$ и $b$ на 8, которые являются неотрицательными числами, меньшими 8. Это упростит дальнейшие вычисления.

Дано, что $a \equiv -11 \pmod{8}$. Чтобы найти положительный остаток, можно прибавить к -11 число, кратное 8, пока не получится неотрицательное число, меньшее 8.
$ -11 + 2 \cdot 8 = -11 + 16 = 5 $.
Следовательно, $a \equiv 5 \pmod{8}$.

Дано, что $b \equiv -2 \pmod{8}$.
$ -2 + 8 = 6 $.
Следовательно, $b \equiv 6 \pmod{8}$.

Теперь, используя свойства сравнений по модулю и найденные остатки, решим каждую часть задачи.

1) a + b
$a + b \equiv 5 + 6 \pmod{8}$
$a + b \equiv 11 \pmod{8}$
Так как $11 = 1 \cdot 8 + 3$, то остаток от деления 11 на 8 равен 3.
$a + b \equiv 3 \pmod{8}$.
Ответ: 3

2) a - b
$a - b \equiv 5 - 6 \pmod{8}$
$a - b \equiv -1 \pmod{8}$
Так как $-1 = -1 \cdot 8 + 7$, то остаток от деления -1 на 8 равен 7.
$a - b \equiv 7 \pmod{8}$.
Ответ: 7

3) 2a - 3b
$2a - 3b \equiv 2 \cdot 5 - 3 \cdot 6 \pmod{8}$
$2a - 3b \equiv 10 - 18 \pmod{8}$
$2a - 3b \equiv -8 \pmod{8}$
Так как $-8$ делится на 8 нацело ($-8 = -1 \cdot 8 + 0$), остаток равен 0.
$2a - 3b \equiv 0 \pmod{8}$.
Ответ: 0

4) ab
$ab \equiv 5 \cdot 6 \pmod{8}$
$ab \equiv 30 \pmod{8}$
Так как $30 = 3 \cdot 8 + 6$, то остаток от деления 30 на 8 равен 6.
$ab \equiv 6 \pmod{8}$.
Ответ: 6

5) a²
$a^2 \equiv 5^2 \pmod{8}$
$a^2 \equiv 25 \pmod{8}$
Так как $25 = 3 \cdot 8 + 1$, то остаток от деления 25 на 8 равен 1.
$a^2 \equiv 1 \pmod{8}$.
Ответ: 1

6) b³
$b^3 \equiv 6^3 \pmod{8}$
$b^3 \equiv 216 \pmod{8}$
Так как $216 = 27 \cdot 8 + 0$, то остаток от деления 216 на 8 равен 0.
Другой способ — использовать $b \equiv -2 \pmod{8}$:
$b^3 \equiv (-2)^3 \pmod{8} \equiv -8 \pmod{8}$. Так как -8 делится на 8 нацело, остаток равен 0.
$b^3 \equiv 0 \pmod{8}$.
Ответ: 0

47.14. Известно, что $a \equiv -4 \pmod{6}$, $b \equiv -9 \pmod{6}$. Найдите остаток при делении на 6 числа:

1) $3a + 4b$;

2) $a^2 - b$;

3) $b^2 + ba$.

Для начала найдем остатки от деления чисел $a$ и $b$ на 6. Остаток должен быть неотрицательным числом, меньшим 6.

По условию $a \equiv -4 \pmod{6}$. Прибавим к -4 число 6, чтобы получить положительный остаток:

$a \equiv -4 + 6 \pmod{6}$

$a \equiv 2 \pmod{6}$

Это означает, что число $a$ при делении на 6 дает остаток 2.

По условию $b \equiv -9 \pmod{6}$. Прибавим к -9 число 6 дважды:

$b \equiv -9 + 6 \cdot 2 \pmod{6}$

$b \equiv -9 + 12 \pmod{6}$

$b \equiv 3 \pmod{6}$

Это означает, что число $b$ при делении на 6 дает остаток 3.

Теперь, используя эти остатки, найдем остатки для заданных выражений.

1) Найдем остаток при делении на 6 числа $3a+4b$.

Используем свойства сравнений. Так как $a \equiv 2 \pmod{6}$ и $b \equiv 3 \pmod{6}$, то:

$3a \equiv 3 \cdot 2 \pmod{6} \implies 3a \equiv 6 \pmod{6} \implies 3a \equiv 0 \pmod{6}$

$4b \equiv 4 \cdot 3 \pmod{6} \implies 4b \equiv 12 \pmod{6} \implies 4b \equiv 0 \pmod{6}$

Сложим полученные сравнения:

$3a + 4b \equiv 0 + 0 \pmod{6}$

$3a + 4b \equiv 0 \pmod{6}$

Остаток при делении числа $3a+4b$ на 6 равен 0.

Ответ: 0

2) Найдем остаток при делении на 6 числа $a^2-b$.

Используем известные сравнения $a \equiv 2 \pmod{6}$ и $b \equiv 3 \pmod{6}$:

$a^2 \equiv 2^2 \pmod{6} \implies a^2 \equiv 4 \pmod{6}$

Теперь вычтем из этого сравнения сравнение для $b$:

$a^2 - b \equiv 4 - 3 \pmod{6}$

$a^2 - b \equiv 1 \pmod{6}$

Остаток при делении числа $a^2-b$ на 6 равен 1.

Ответ: 1

3) Найдем остаток при делении на 6 числа $b^2+ba$.

Используем известные сравнения $a \equiv 2 \pmod{6}$ и $b \equiv 3 \pmod{6}$:

$b^2 \equiv 3^2 \pmod{6} \implies b^2 \equiv 9 \pmod{6} \implies b^2 \equiv 3 \pmod{6}$

$ba \equiv 3 \cdot 2 \pmod{6} \implies ba \equiv 6 \pmod{6} \implies ba \equiv 0 \pmod{6}$

Сложим полученные сравнения:

$b^2 + ba \equiv 3 + 0 \pmod{6}$

$b^2 + ba \equiv 3 \pmod{6}$

Остаток при делении числа $b^2+ba$ на 6 равен 3.

Ответ: 3

47.15. Докажите, что квадрат целого числа при делении на 3 даёт в остатке 0 или 1.

Любое целое число $n$ при делении на 3 может давать один из трёх возможных остатков: 0, 1 или 2. Чтобы доказать утверждение, рассмотрим квадрат числа $n$ для каждого из этих трёх случаев.

1. Остаток равен 0.
Если целое число $n$ при делении на 3 даёт в остатке 0, значит, оно кратно 3. Такое число можно представить в виде $n = 3k$, где $k$ — некоторое целое число. Возведём это выражение в квадрат:$n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$. Поскольку $3k^2$ является целым числом, то $n^2$ делится на 3 без остатка. Таким образом, остаток от деления в этом случае равен 0.

2. Остаток равен 1.
Если целое число $n$ при делении на 3 даёт в остатке 1, его можно представить в виде $n = 3k + 1$, где $k$ — целое число. Найдём его квадрат:$n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:$n^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. Это выражение представляет собой число, которое при делении на 3 даёт в остатке 1.

3. Остаток равен 2.
Если целое число $n$ при делении на 3 даёт в остатке 2, его можно представить в виде $n = 3k + 2$, где $k$ — целое число. Возведём его в квадрат:$n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4$. Чтобы найти остаток от деления на 3, представим 4 как $3 + 1$:$n^2 = 9k^2 + 12k + 3 + 1$. Вынесем общий множитель 3 за скобки:$n^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. Это выражение также при делении на 3 даёт в остатке 1.

Мы рассмотрели все возможные случаи. Квадрат целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

47.16. Докажите, что квадрат целого числа при делении на 4 даёт в остатке 0 или 1.

47.16. Для доказательства этого утверждения необходимо рассмотреть все возможные целые числа. Любое целое число $n$ при делении на 2 может давать в остатке либо 0 (четные числа), либо 1 (нечетные числа). Рассмотрим оба этих случая.

Случай 1: Число $n$ — четное.

Если число $n$ четное, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Найдем квадрат этого числа:

$n^2 = (2k)^2 = 4k^2$

Полученное выражение $4k^2$ содержит множитель 4, следовательно, оно делится на 4 без остатка. Таким образом, остаток от деления в этом случае равен 0.

Случай 2: Число $n$ — нечетное.

Если число $n$ нечетное, то его можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Найдем квадрат этого числа, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$n^2 = (2k + 1)^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$

Вынесем общий множитель 4 за скобки в первых двух слагаемых:

$n^2 = 4(k^2 + k) + 1$

Это выражение представляет собой число, которое при делении на 4 даёт в частном $(k^2 + k)$ и в остатке 1.

Поскольку любое целое число является либо четным, либо нечетным, мы рассмотрели все возможные варианты. В первом случае остаток от деления квадрата на 4 равен 0, во втором — 1. Других остатков быть не может, что и требовалось доказать.

Ответ: Квадрат четного числа ($n=2k$) имеет вид $4k^2$ и дает остаток 0 при делении на 4. Квадрат нечетного числа ($n=2k+1$) имеет вид $4(k^2 + k) + 1$ и дает остаток 1 при делении на 4. Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 4 даёт в остатке 0 или 1.

47.17. Докажите, что квадрат нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1.

Пусть $n$ — произвольное нечётное число. Согласно определению, любое нечётное число можно представить в виде $n = 2k + 1$, где $k$ — любое целое число.

Найдём квадрат этого числа, возведя выражение в квадрат:$n^2 = (2k + 1)^2$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:$n^2 = (2k)^2 + 2 \cdot 2k \cdot 1 + 1^2 = 4k^2 + 4k + 1$.

Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $4k$:$n^2 = 4k(k + 1) + 1$.

Рассмотрим выражение в скобках: $k(k + 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. В любой паре последовательных целых чисел одно из них обязательно является чётным. Следовательно, их произведение $k(k + 1)$ всегда делится на 2.

Это означает, что произведение $k(k + 1)$ можно представить как $2m$, где $m$ — некоторое целое число.

Теперь подставим $2m$ вместо $k(k+1)$ в наше выражение для $n^2$:$n^2 = 4 \cdot (2m) + 1 = 8m + 1$.

Полученное выражение $n^2 = 8m + 1$ по определению деления с остатком означает, что при делении квадрата нечётного числа $n^2$ на 8 получается частное $m$ и остаток, равный 1. Утверждение доказано.

Ответ: Квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1, что и требовалось доказать.

47.18. Докажите, что значение выражения $m^3$ при делении на 7 даёт в остатке 0, 1 или 6.

Для доказательства этого утверждения мы рассмотрим все возможные остатки от деления произвольного целого числа $m$ на 7. Любое целое число $m$ при делении на 7 может давать в остатке одно из следующих чисел: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Остаток от деления $m^3$ на 7 зависит только от остатка, который дает $m$ при делении на 7. Если $m$ при делении на 7 дает остаток $r$, то это можно записать в виде сравнения по модулю: $m \equiv r \pmod{7}$. Тогда $m^3 \equiv r^3 \pmod{7}$. Нам необходимо вычислить остатки от деления $r^3$ на 7 для каждого возможного значения $r$.

Рассмотрим все случаи:

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 0, то $m^3$ делится на 7 без остатка. Остаток от деления $m^3$ на 7 равен $0^3 = 0$.

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 1, то остаток от деления $m^3$ на 7 равен $1^3 = 1$.

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 2, то остаток от деления $m^3$ на 7 равен $2^3 = 8$. Так как $8 = 1 \cdot 7 + 1$, остаток равен 1.

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 3, то остаток от деления $m^3$ на 7 равен $3^3 = 27$. Так как $27 = 3 \cdot 7 + 6$, остаток равен 6.

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 4, то остаток от деления $m^3$ на 7 равен $4^3 = 64$. Так как $64 = 9 \cdot 7 + 1$, остаток равен 1.

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 5, то остаток от деления $m^3$ на 7 равен $5^3 = 125$. Так как $125 = 17 \cdot 7 + 6$, остаток равен 6.

Если остаток от деления $m$ на 7 равен 6, то остаток от деления $m^3$ на 7 равен $6^3 = 216$. Так как $216 = 30 \cdot 7 + 6$, остаток равен 6.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и видим, что остатки от деления $m^3$ на 7 могут быть только 0, 1 или 6. Утверждение доказано.

Ответ: Перебрав все возможные остатки от деления числа $m$ на 7, мы доказали, что значение выражения $m^3$ при делении на 7 даёт в остатке только 0, 1 или 6.

47.19. Докажите, что значение выражения $k^3$ при делении на 9 даёт в остатке 0, 1 или 8.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим, какие остатки может давать целое число $k$ при делении на 3. Любое целое число $k$ можно представить в одном из трёх видов: $k = 3n$, $k = 3n + 1$ или $k = 3n + 2$, где $n$ — некоторое целое число. Проанализируем каждый из этих случаев.

1. Пусть $k$ делится на 3 без остатка, то есть $k = 3n$.
Возведём это выражение в куб:
$k^3 = (3n)^3 = 27n^3 = 9 \cdot (3n^3)$.
Поскольку $3n^3$ является целым числом, выражение $k^3$ делится на 9 нацело. Следовательно, остаток от деления равен 0.

2. Пусть $k$ при делении на 3 даёт в остатке 1, то есть $k = 3n + 1$.
Возведём это выражение в куб, используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:
$k^3 = (3n + 1)^3 = (3n)^3 + 3 \cdot (3n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 3n \cdot 1^2 + 1^3 = 27n^3 + 27n^2 + 9n + 1$.
Вынесем общий множитель 9 за скобки:
$k^3 = 9(3n^3 + 3n^2 + n) + 1$.
Первое слагаемое $9(3n^3 + 3n^2 + n)$ делится на 9 нацело. Следовательно, при делении всего выражения $k^3$ на 9 остаток будет равен 1.

3. Пусть $k$ при делении на 3 даёт в остатке 2, то есть $k = 3n + 2$.
Возведём это выражение в куб:
$k^3 = (3n + 2)^3 = (3n)^3 + 3 \cdot (3n)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 3n \cdot 2^2 + 2^3 = 27n^3 + 54n^2 + 36n + 8$.
Вынесем общий множитель 9 за скобки:
$k^3 = 9(3n^3 + 6n^2 + 4n) + 8$.
Первое слагаемое $9(3n^3 + 6n^2 + 4n)$ делится на 9 нацело. Следовательно, при делении всего выражения $k^3$ на 9 остаток будет равен 8.

Мы рассмотрели все возможные варианты для целого числа $k$. В результате было показано, что остаток от деления $k^3$ на 9 может быть только 0, 1 или 8, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что значение выражения $k^3$ при делении на 9 может давать в остатке только 0, 1 или 8.

47.20. Числа $a$ и $b$ таковы, что $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod 3$. Докажите, что $a \equiv 0 \pmod 3$ и $b \equiv 0 \pmod 3$.

По условию задачи дано, что $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Необходимо доказать, что из этого следует $a \equiv 0 \pmod{3}$ и $b \equiv 0 \pmod{3}$.

Для доказательства рассмотрим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 3. Любое целое число $n$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

• Если $n \equiv 0 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Если $n \equiv 1 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $n \equiv 2 \pmod{3}$, то $n^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа может быть сравним только с 0 или 1 по модулю 3. То есть, для любого целого числа $n$ справедливо, что $n^2 \equiv 0 \pmod{3}$ или $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$.

Теперь вернемся к исходному сравнению $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$. Поскольку $a^2$ и $b^2$ могут быть сравнимы только с 0 или 1 по модулю 3, рассмотрим все возможные комбинации их суммы по модулю 3:

• $0 + 0 = 0 \equiv 0 \pmod{3}$
• $0 + 1 = 1 \equiv 1 \pmod{3}$
• $1 + 0 = 1 \equiv 1 \pmod{3}$
• $1 + 1 = 2 \equiv 2 \pmod{3}$

Из этих четырех вариантов только один дает в сумме 0 по модулю 3: это случай, когда оба слагаемых ($a^2$ и $b^2$) сравнимы с 0 по модулю 3. Следовательно, для выполнения условия $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ необходимо, чтобы одновременно выполнялись два сравнения: $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ и $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Как мы установили ранее, $n^2 \equiv 0 \pmod{3}$ возможно только в том случае, если $n \equiv 0 \pmod{3}$. Поэтому из $a^2 \equiv 0 \pmod{3}$ следует, что $a \equiv 0 \pmod{3}$. Аналогично, из $b^2 \equiv 0 \pmod{3}$ следует, что $b \equiv 0 \pmod{3}$.

Таким образом, мы доказали, что если $a^2 + b^2 \equiv 0 \pmod{3}$, то $a \equiv 0 \pmod{3}$ и $b \equiv 0 \pmod{3}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

47.21. Известно, что $(m^2+n^2) \vdots 7$. Докажите, что $(m^2+n^2) \vdots 49$.

По условию задачи, сумма $m^2 + n^2$ делится на 7. Это можно записать в виде сравнения по модулю 7: $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{7}$.

Рассмотрим, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 7. Любое целое число при делении на 7 может давать остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Найдем остатки от деления на 7 для их квадратов:

• $0^2 = 0 \equiv 0 \pmod{7}$
• $1^2 = 1 \equiv 1 \pmod{7}$
• $2^2 = 4 \equiv 4 \pmod{7}$
• $3^2 = 9 \equiv 2 \pmod{7}$
• $4^2 = 16 \equiv 2 \pmod{7}$
• $5^2 = 25 \equiv 4 \pmod{7}$
• $6^2 = 36 \equiv 1 \pmod{7}$

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 7 может давать только остатки из множества $\{0, 1, 2, 4\}$.

Вернемся к условию $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{7}$. Это означает, что сумма остатков от деления $m^2$ и $n^2$ на 7 должна быть кратна 7. Пусть $r_1 = m^2 \pmod{7}$ и $r_2 = n^2 \pmod{7}$. Тогда $r_1, r_2 \in \{0, 1, 2, 4\}$. Мы ищем пары $(r_1, r_2)$, для которых $r_1 + r_2$ кратно 7.

Перебрав все возможные пары, мы увидим, что единственная комбинация, удовлетворяющая этому условию, это $0 + 0 = 0$. Никакая другая сумма двух чисел из множества $\{0, 1, 2, 4\}$ не делится на 7 (например, $1+2=3$, $1+4=5$, $2+4=6$, $4+4=8 \equiv 1 \pmod{7}$).

Следовательно, для выполнения условия $m^2 + n^2 \equiv 0 \pmod{7}$ необходимо, чтобы и $m^2$, и $n^2$ по отдельности делились на 7, то есть:

$m^2 \equiv 0 \pmod{7}$ и $n^2 \equiv 0 \pmod{7}$.

Поскольку 7 — простое число, из того, что $m^2$ делится на 7, следует, что и само число $m$ должно делиться на 7. Аналогично, из того, что $n^2$ делится на 7, следует, что и $n$ должно делиться на 7.

Таким образом, мы можем представить числа $m$ и $n$ в виде:

$m = 7k$

$n = 7l$

где $k$ и $l$ — некоторые целые числа.

Теперь подставим эти выражения в сумму $m^2 + n^2$:

$m^2 + n^2 = (7k)^2 + (7l)^2 = 49k^2 + 49l^2 = 49(k^2 + l^2)$.

Поскольку $k$ и $l$ — целые числа, то $k^2 + l^2$ также является целым числом. Из полученного выражения видно, что сумма $m^2 + n^2$ является произведением числа 49 и целого числа $(k^2 + l^2)$, а значит, она делится на 49.

Таким образом, доказано, что если $(m^2 + n^2) \vdots 7$, то $(m^2 + n^2) \vdots 49$.

Ответ: Утверждение доказано.

47.22. Решите в целых числах уравнение:

1) $x^2 - 3y = 8;$

2) $x^2 - 4y^3 = 11;$

3) $m^3 - 7n^2 = 19;$

4) $z^3 - 9t = 16.$

1) $x^2 - 3y = 8$
Перепишем уравнение в виде $x^2 - 8 = 3y$. Это означает, что разность $x^2 - 8$ должна делиться на 3 без остатка. Рассмотрим это условие с помощью сравнений по модулю 3:
$x^2 - 8 \equiv 0 \pmod{3}$
Поскольку $8 \equiv 2 \pmod{3}$, сравнение принимает вид:
$x^2 \equiv 2 \pmod{3}$
Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 3.
- Если $x$ делится на 3 ($x \equiv 0 \pmod{3}$), то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
- Если $x$ дает остаток 1 при делении на 3 ($x \equiv 1 \pmod{3}$), то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
- Если $x$ дает остаток 2 при делении на 3 ($x \equiv 2 \pmod{3}$), то $x^2 \equiv 2^2 \equiv 4 \equiv 1 \pmod{3}$.
Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Сравнение $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений в целых числах нет.

2) $x^2 - 4y^3 = 11$
Рассмотрим это уравнение по модулю 4.
$x^2 - 4y^3 \equiv 11 \pmod{4}$
Так как $4y^3$ делится на 4, то $4y^3 \equiv 0 \pmod{4}$. А $11 = 2 \cdot 4 + 3$, поэтому $11 \equiv 3 \pmod{4}$.
Сравнение принимает вид:
$x^2 \equiv 3 \pmod{4}$
Проверим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 4.
- Если $x$ — четное число, то $x = 2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $x^2 = (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
- Если $x$ — нечетное число, то $x = 2k+1$ для некоторого целого $k$. Тогда $x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k)+1 \equiv 1 \pmod{4}$.
Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1. Сравнение $x^2 \equiv 3 \pmod{4}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений в целых числах нет.

3) $m^3 - 7n^2 = 19$
Перепишем уравнение в виде $m^3 - 19 = 7n^2$. Это означает, что $m^3 - 19$ должно быть кратно 7. Рассмотрим это уравнение по модулю 7.
$m^3 - 19 \equiv 0 \pmod{7}$
Поскольку $19 = 2 \cdot 7 + 5$, то $19 \equiv 5 \pmod{7}$. Сравнение принимает вид:
$m^3 \equiv 5 \pmod{7}$
Проверим, какие остатки может давать куб целого числа при делении на 7.
- $0^3 \equiv 0 \pmod{7}$
- $1^3 \equiv 1 \pmod{7}$
- $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
- $3^3 = 27 \equiv 6 \pmod{7}$
- $4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{7}$
- $5^3 = 125 \equiv 6 \pmod{7}$
- $6^3 \equiv (-1)^3 = -1 \equiv 6 \pmod{7}$
Таким образом, куб любого целого числа при делении на 7 может давать в остатке только 0, 1 или 6. Сравнение $m^3 \equiv 5 \pmod{7}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений в целых числах нет.

4) $z^3 - 9t = 16$
Перепишем уравнение в виде $z^3 - 16 = 9t$. Это означает, что $z^3 - 16$ должно делиться на 9. Рассмотрим это уравнение по модулю 9.
$z^3 - 16 \equiv 0 \pmod{9}$
Поскольку $16 = 1 \cdot 9 + 7$, то $16 \equiv 7 \pmod{9}$. Сравнение принимает вид:
$z^3 \equiv 7 \pmod{9}$
Проверим, какие остатки может давать куб целого числа при делении на 9.
- Если $z$ кратно 3 ($z=3k$), то $z^3 = (3k)^3 = 27k^3 \equiv 0 \pmod{9}$.
- $1^3 \equiv 1 \pmod{9}$
- $2^3 = 8 \pmod{9}$
- $4^3 = 64 = 7 \cdot 9 + 1 \equiv 1 \pmod{9}$
- $5^3 = 125 = 13 \cdot 9 + 8 \equiv 8 \pmod{9}$
- $7^3 \equiv (-2)^3 = -8 \equiv 1 \pmod{9}$
- $8^3 \equiv (-1)^3 = -1 \equiv 8 \pmod{9}$
Таким образом, куб любого целого числа при делении на 9 может давать в остатке только 0, 1 или 8. Сравнение $z^3 \equiv 7 \pmod{9}$ не имеет решений. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: решений в целых числах нет.

47.23. Решите в целых числах уравнение:

1) $x^2 - 3y^2 = 17$;

2) $9x^2 - 28y = 15$;

3) $8x^3 + 7y^3 = 38$.

1) $x^2 - 3y^2 = 17$

Для решения этого диофантова уравнения в целых числах $x$ и $y$, рассмотрим его по модулю 3. Это удобно, так как один из коэффициентов делится на 3.

Запишем сравнение по модулю 3:

$x^2 - 3y^2 \equiv 17 \pmod{3}$

Поскольку $3y^2$ делится на 3, то $3y^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Число 17 при делении на 3 дает остаток 2, так как $17 = 5 \cdot 3 + 2$. Следовательно, $17 \equiv 2 \pmod{3}$.

Таким образом, сравнение принимает вид:

$x^2 \equiv 2 \pmod{3}$

Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 3. Любое целое число $x$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

• Если $x \equiv 0 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 1 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 2 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 2 невозможен.

Поскольку сравнение $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$ не имеет решений в целых числах, то и исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

2) $9x^2 - 28y = 15$

Рассмотрим это уравнение по модулю 4. Выбор модуля 4 удобен, так как коэффициент при $y$ (28) делится на 4.

Запишем сравнение по модулю 4:

$9x^2 - 28y \equiv 15 \pmod{4}$

Поскольку $28y$ делится на 4, то $28y \equiv 0 \pmod{4}$.

Коэффициент $9$ при делении на 4 дает остаток 1 ($9 = 2 \cdot 4 + 1$), поэтому $9 \equiv 1 \pmod{4}$.

Число 15 при делении на 4 дает остаток 3 ($15 = 3 \cdot 4 + 3$), поэтому $15 \equiv 3 \pmod{4}$.

Подставляя эти значения в сравнение, получаем:

$1 \cdot x^2 - 0 \equiv 3 \pmod{4}$

$x^2 \equiv 3 \pmod{4}$

Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 4. Любое целое число $x$ может быть либо четным ($x=2k$), либо нечетным ($x=2k+1$).

• Если $x$ — четное, $x = 2k$, то $x^2 = (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
• Если $x$ — нечетное, $x = 2k+1$, то $x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1 \equiv 1 \pmod{4}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 3 невозможен.

Так как сравнение $x^2 \equiv 3 \pmod{4}$ не имеет решений, то и исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

3) $8x^3 + 7y^3 = 38$

Для решения этого уравнения рассмотрим его по модулю 7. Это удобно, так как коэффициент при $y^3$ (7) делится на 7.

Запишем сравнение по модулю 7:

$8x^3 + 7y^3 \equiv 38 \pmod{7}$

Поскольку $7y^3$ делится на 7, то $7y^3 \equiv 0 \pmod{7}$.

Коэффициент 8 при делении на 7 дает остаток 1 ($8 = 1 \cdot 7 + 1$), поэтому $8 \equiv 1 \pmod{7}$.

Число 38 при делении на 7 дает остаток 3 ($38 = 5 \cdot 7 + 3$), поэтому $38 \equiv 3 \pmod{7}$.

Сравнение принимает вид:

$1 \cdot x^3 + 0 \equiv 3 \pmod{7}$

$x^3 \equiv 3 \pmod{7}$

Проверим, какие остатки могут давать кубы целых чисел при делении на 7. Вычислим $x^3 \pmod{7}$ для всех возможных остатков $x$ от 0 до 6.

• $0^3 \equiv 0 \pmod{7}$
• $1^3 \equiv 1 \pmod{7}$
• $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
• $3^3 = 27 = 3 \cdot 7 + 6 \equiv 6 \pmod{7}$
• $4^3 = 64 = 9 \cdot 7 + 1 \equiv 1 \pmod{7}$
• $5^3 = 125 = 17 \cdot 7 + 6 \equiv 6 \pmod{7}$
• $6^3 = 216 = 30 \cdot 7 + 6 \equiv 6 \pmod{7}$ (или $6 \equiv -1 \pmod{7}$, тогда $6^3 \equiv (-1)^3 = -1 \equiv 6 \pmod{7}$)

Возможные остатки от деления куба целого числа на 7 — это 0, 1 и 6. Остаток 3 невозможен.

Поскольку сравнение $x^3 \equiv 3 \pmod{7}$ не имеет решений, исходное уравнение также не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

47.24. Найдите остаток при делении числа $a$ на число $b$, если:

1) $a = 5^{99}, b = 3;$

2) $a = 7^{36}, b = 4;$

3) $a = 3^{70} + 2^{52}, b = 5.$

1) Для того чтобы найти остаток от деления $a = 5^{99}$ на $b = 3$, мы будем использовать сравнения по модулю 3.

Сначала найдем остаток от деления основания степени, числа 5, на 3. Так как $5 = 1 \cdot 3 + 2$, то $5$ дает остаток 2 при делении на 3. В терминах сравнений это записывается как $5 \equiv 2 \pmod{3}$.

Удобнее работать с меньшими по модулю числами. Заметим, что $5 = 2 \cdot 3 - 1$, поэтому $5 \equiv -1 \pmod{3}$.

Теперь воспользуемся свойством сравнений: если $x \equiv y \pmod{m}$, то $x^n \equiv y^n \pmod{m}$.

Применим это свойство к нашему случаю:

$5^{99} \equiv (-1)^{99} \pmod{3}$.

Поскольку 99 — нечетное число, то $(-1)^{99} = -1$.

Следовательно, $5^{99} \equiv -1 \pmod{3}$.

Остаток от деления должен быть неотрицательным числом в диапазоне от 0 до $b-1$. Чтобы преобразовать отрицательный результат $-1$ в стандартный остаток по модулю 3, мы прибавляем модуль:

$-1 \equiv -1 + 3 \equiv 2 \pmod{3}$.

Таким образом, остаток от деления $5^{99}$ на 3 равен 2.

Ответ: 2

2) Найдем остаток от деления $a = 7^{36}$ на $b = 4$.

Найдем остаток от деления основания 7 на 4. Так как $7 = 1 \cdot 4 + 3$, то $7 \equiv 3 \pmod{4}$. Также можно представить 7 как $7 = 2 \cdot 4 - 1$, откуда $7 \equiv -1 \pmod{4}$.

Используем второе, более простое для вычислений, сравнение:

$7^{36} \equiv (-1)^{36} \pmod{4}$.

Поскольку 36 — четное число, то $(-1)^{36} = 1$.

Следовательно, $7^{36} \equiv 1 \pmod{4}$.

Остаток от деления $7^{36}$ на 4 равен 1.

Ответ: 1

3) Найдем остаток от деления $a = 3^{70} + 2^{52}$ на $b = 5$.

Остаток суммы равен сумме остатков по тому же модулю. Поэтому мы найдем остатки от деления каждого слагаемого ($3^{70}$ и $2^{52}$) на 5, а затем сложим их.

Найдем остаток от деления $3^{70}$ на 5.

Рассмотрим, какие остатки дают степени числа 3 при делении на 5:

$3^1 = 3 \equiv 3 \pmod{5}$

$3^2 = 9 \equiv 4 \pmod{5}$

$3^3 = 27 \equiv 2 \pmod{5}$

$3^4 = 81 \equiv 1 \pmod{5}$

Мы видим, что остатки повторяются с периодом (циклом) длиной 4. Чтобы найти остаток для $3^{70}$, нужно найти остаток от деления показателя степени 70 на длину цикла 4:

$70 = 4 \cdot 17 + 2$.

Это означает, что остаток от деления $3^{70}$ на 5 будет таким же, как и остаток от деления $3^2$ на 5.

$3^{70} \equiv 3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$.

Найдем остаток от деления $2^{52}$ на 5.

Рассмотрим степени числа 2 по модулю 5:

$2^1 = 2 \equiv 2 \pmod{5}$

$2^2 = 4 \equiv 4 \pmod{5}$

$2^3 = 8 \equiv 3 \pmod{5}$

$2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$

Здесь длина цикла также равна 4. Найдем остаток от деления показателя степени 52 на 4:

$52 = 4 \cdot 13 + 0$.

Остаток 0 означает, что показатель степени делится на длину цикла нацело. В этом случае остаток будет таким же, как у последнего члена цикла, то есть $2^4$.

$2^{52} = (2^4)^{13} \equiv 1^{13} \equiv 1 \pmod{5}$.

Сложим полученные остатки.

$3^{70} + 2^{52} \equiv 4 + 1 \pmod{5}$.

$4 + 1 = 5$.

Так как $5$ делится на $5$ без остатка, то $5 \equiv 0 \pmod{5}$.

Таким образом, остаток от деления $3^{70} + 2^{52}$ на 5 равен 0.

Ответ: 0

47.25. Найдите остаток при делении числа $m$ на число $n$, если:

1) $m = 11^{43}, n = 7$;

2) $m = 13^{52}, n = 17$;

3) $m = 3^{30}, n = 31$.

1) Для нахождения остатка от деления числа $m = 114^{43}$ на число $n=7$ воспользуемся свойствами сравнений по модулю и малой теоремой Ферма.

Сначала найдем остаток от деления основания степени, числа 114, на 7:

$114 = 7 \cdot 16 + 2$.

Это означает, что 114 дает такой же остаток при делении на 7, что и число 2. В терминах сравнений это записывается как $114 \equiv 2 \pmod{7}$.

Согласно свойству сравнений, мы можем заменить основание степени на его остаток:

$114^{43} \equiv 2^{43} \pmod{7}$.

Теперь задача сводится к нахождению остатка от деления $2^{43}$ на 7. Поскольку 7 — простое число, а 2 не делится на 7, мы можем применить малую теорему Ферма, которая гласит, что $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ для любого простого $p$ и целого $a$, не кратного $p$.

В нашем случае $a=2$ и $p=7$, поэтому:

$2^{7-1} \equiv 1 \pmod{7}$, то есть $2^6 \equiv 1 \pmod{7}$.

Теперь представим показатель степени 43 через 6:

$43 = 6 \cdot 7 + 1$.

Подставим это в наше выражение:

$2^{43} = 2^{6 \cdot 7 + 1} = (2^6)^7 \cdot 2^1$.

Используя найденное ранее сравнение $2^6 \equiv 1 \pmod{7}$, получаем:

$(2^6)^7 \cdot 2^1 \equiv 1^7 \cdot 2 \pmod{7} \equiv 1 \cdot 2 \pmod{7} \equiv 2 \pmod{7}$.

Таким образом, остаток при делении $114^{43}$ на 7 равен 2.

Ответ: 2

2) Найдем остаток при делении числа $m = 13^{52}$ на число $n=17$.

Число 17 — простое, а 13 не делится на 17. Снова воспользуемся малой теоремой Ферма: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

Для $a=13$ и $p=17$ имеем:

$13^{17-1} \equiv 1 \pmod{17}$, то есть $13^{16} \equiv 1 \pmod{17}$.

Представим показатель степени 52 через 16:

$52 = 16 \cdot 3 + 4$.

Тогда:

$13^{52} = 13^{16 \cdot 3 + 4} = (13^{16})^3 \cdot 13^4$.

По свойствам сравнений:

$(13^{16})^3 \cdot 13^4 \equiv 1^3 \cdot 13^4 \pmod{17} \equiv 13^4 \pmod{17}$.

Осталось вычислить $13^4 \pmod{17}$. Для удобства вычислений заметим, что $13 = 17 - 4$, следовательно, $13 \equiv -4 \pmod{17}$.

Тогда:

$13^4 \equiv (-4)^4 \pmod{17}$.

$(-4)^4 = 4^4 = (4^2)^2 = 16^2$.

Так как $16 = 17 - 1$, то $16 \equiv -1 \pmod{17}$.

Следовательно:

$16^2 \equiv (-1)^2 \pmod{17} \equiv 1 \pmod{17}$.

Значит, остаток при делении $13^{52}$ на 17 равен 1.

Ответ: 1

3) Найдем остаток при делении числа $m = 3^{30}$ на число $n=31$.

Число 31 — простое, а 3 на 31 не делится. Это идеальные условия для применения малой теоремы Ферма: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.

В нашем случае $a=3$ и $p=31$.

Подставляя эти значения в теорему, получаем:

$3^{31-1} \equiv 1 \pmod{31}$, то есть $3^{30} \equiv 1 \pmod{31}$.

Это сравнение напрямую показывает, что остаток от деления $3^{30}$ на 31 равен 1.

Ответ: 1

47.26. Найдите все натуральные значения $n$, при которых значение выражения $3^n - 1$ делится нацело на 13.

Условие, что выражение $3^n - 1$ делится нацело на 13, можно записать в виде сравнения по модулю:

$3^n - 1 \equiv 0 \pmod{13}$

что эквивалентно следующему выражению:

$3^n \equiv 1 \pmod{13}$

Чтобы найти все натуральные значения $n$, удовлетворяющие этому условию, рассмотрим остатки от деления степеней числа 3 на 13 для первых нескольких натуральных $n$:

• При $n=1$: $3^1 = 3$. Остаток от деления на 13 равен 3, то есть $3^1 \equiv 3 \pmod{13}$.
• При $n=2$: $3^2 = 9$. Остаток от деления на 13 равен 9, то есть $3^2 \equiv 9 \pmod{13}$.
• При $n=3$: $3^3 = 27$. При делении 27 на 13 получаем $27 = 2 \cdot 13 + 1$. Остаток равен 1, то есть $3^3 \equiv 1 \pmod{13}$.

Мы нашли наименьшее натуральное значение $n=3$, при котором $3^n$ сравнимо с 1 по модулю 13. Это означает, что остатки от деления степеней тройки на 13 будут циклически повторяться с периодом 3. Например:

• $3^4 = 3^3 \cdot 3^1 \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3 \pmod{13}$
• $3^5 = 3^3 \cdot 3^2 \equiv 1 \cdot 9 \equiv 9 \pmod{13}$
• $3^6 = (3^3)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{13}$

В общем виде, любое натуральное число $n$ можно представить как $n = 3k + r$, где $k$ — неотрицательное целое число, а $r$ — остаток от деления $n$ на 3, то есть $r \in \{0, 1, 2\}$. Тогда:

$3^n = 3^{3k+r} = (3^3)^k \cdot 3^r$

Поскольку $3^3 \equiv 1 \pmod{13}$, то $(3^3)^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{13}$. Следовательно, $3^n \equiv 1 \cdot 3^r \equiv 3^r \pmod{13}$.

Для выполнения исходного условия $3^n \equiv 1 \pmod{13}$ необходимо, чтобы $3^r \equiv 1 \pmod{13}$. Рассмотрим возможные значения остатка $r$:

• Если $r=0$, то $3^0 = 1$, что удовлетворяет условию $1 \equiv 1 \pmod{13}$.
• Если $r=1$, то $3^1 = 3$, что не удовлетворяет условию $3 \equiv 1 \pmod{13}$.
• Если $r=2$, то $3^2 = 9$, что не удовлетворяет условию $9 \equiv 1 \pmod{13}$.

Таким образом, единственно возможным значением остатка является $r=0$. Это означает, что число $n$ должно делиться на 3 без остатка. Поскольку по условию $n$ — натуральное число, оно должно быть положительным числом, кратным 3.

Все такие числа можно записать в виде формулы $n = 3k$, где $k$ — любое натуральное число.

Ответ: $n = 3k$, где $k \in \mathbb{N}$.

47.27. Используя сравнения по модулю, докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения:

1) $3^{2n} + 11 \cdot 5^n$ кратно 4;

2) $21^n + 2^{2n+4}$ кратно 17;

3) $4 \cdot 13^n + 37^n + 1$ кратно 6;

4) $3^{3n+2} + 5 \cdot 2^{3n+1}$ кратно 19;

5) $5^n + 8^n - 2^{n+1}$ кратно 3;

6) $2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}$ кратно 37.

1) $3^{2n} + 11 \cdot 5^n$ кратно 4
Для доказательства рассмотрим выражение по модулю 4.
Преобразуем первое слагаемое: $3^{2n} = (3^2)^n = 9^n$.
Найдем остатки от деления на 4 для оснований степеней и коэффициентов:
$9 \equiv 1 \pmod{4}$
$11 \equiv 3 \pmod{4}$ (или $11 \equiv -1 \pmod{4}$)
$5 \equiv 1 \pmod{4}$
Теперь подставим эти значения в исходное выражение:
$3^{2n} + 11 \cdot 5^n = 9^n + 11 \cdot 5^n \equiv 1^n + 3 \cdot 1^n \equiv 1 + 3 \equiv 4 \equiv 0 \pmod{4}$.
Таким образом, значение выражения всегда делится на 4.
Ответ: Доказано.

2) $21^n + 2^{2n+4}$ кратно 17
Рассмотрим выражение по модулю 17.
Для первого слагаемого: $21 = 17 + 4 \implies 21 \equiv 4 \pmod{17}$. Следовательно, $21^n \equiv 4^n \pmod{17}$.
Преобразуем второе слагаемое: $2^{2n+4} = 2^{2n} \cdot 2^4 = (2^2)^n \cdot 16 = 4^n \cdot 16$.
Так как $16 \equiv -1 \pmod{17}$, то $2^{2n+4} \equiv 4^n \cdot (-1) = -4^n \pmod{17}$.
Сложим оба результата:
$21^n + 2^{2n+4} \equiv 4^n + (-4^n) \equiv 4^n - 4^n \equiv 0 \pmod{17}$.
Таким образом, значение выражения всегда делится на 17.
Ответ: Доказано.

3) $4 \cdot 13^n + 37^n + 1$ кратно 6
Рассмотрим выражение по модулю 6.
Найдем остатки от деления на 6:
$13 = 2 \cdot 6 + 1 \implies 13 \equiv 1 \pmod{6}$.
$37 = 6 \cdot 6 + 1 \implies 37 \equiv 1 \pmod{6}$.
Подставим эти значения в выражение:
$4 \cdot 13^n + 37^n + 1 \equiv 4 \cdot 1^n + 1^n + 1 \pmod{6}$.
$\equiv 4 \cdot 1 + 1 + 1 = 4 + 1 + 1 = 6 \equiv 0 \pmod{6}$.
Таким образом, значение выражения всегда делится на 6.
Ответ: Доказано.

4) $3^{3n+2} + 5 \cdot 2^{3n+1}$ кратно 19
Рассмотрим выражение по модулю 19.
Преобразуем каждое слагаемое:
$3^{3n+2} = 3^2 \cdot 3^{3n} = 9 \cdot (3^3)^n = 9 \cdot 27^n$.
$5 \cdot 2^{3n+1} = 5 \cdot 2 \cdot 2^{3n} = 10 \cdot (2^3)^n = 10 \cdot 8^n$.
Найдем остаток от деления 27 на 19: $27 = 19 + 8 \implies 27 \equiv 8 \pmod{19}$.
Теперь всё выражение можно записать в виде:
$9 \cdot 27^n + 10 \cdot 8^n \equiv 9 \cdot 8^n + 10 \cdot 8^n \pmod{19}$.
$\equiv (9+10) \cdot 8^n = 19 \cdot 8^n \equiv 0 \cdot 8^n \equiv 0 \pmod{19}$.
Таким образом, значение выражения всегда делится на 19.
Ответ: Доказано.

5) $5^n + 8^n - 2^{n+1}$ кратно 3
Рассмотрим выражение по модулю 3.
Найдем остатки от деления на 3:
$5 \equiv 2 \equiv -1 \pmod{3}$.
$8 \equiv 2 \equiv -1 \pmod{3}$.
$2 \equiv -1 \pmod{3}$.
Подставим эти сравнения в выражение:
$5^n + 8^n - 2^{n+1} \equiv (-1)^n + (-1)^n - (-1)^{n+1} \pmod{3}$.
$\equiv 2 \cdot (-1)^n - (-1) \cdot (-1)^n = 2 \cdot (-1)^n + (-1)^n = (2+1) \cdot (-1)^n = 3 \cdot (-1)^n \equiv 0 \pmod{3}$.
Таким образом, значение выражения всегда делится на 3.
Ответ: Доказано.

6) $2^n + 5 \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}$ кратно 37
Заметим, что в условии этой задачи, вероятно, допущена опечатка. Проверим утверждение для частного случая $n=1$:
$2^1 + 5 \cdot 3^{4 \cdot 1} + 5^{3 \cdot 1 + 1} = 2 + 5 \cdot 3^4 + 5^4 = 2 + 5 \cdot 81 + 625 = 2 + 405 + 625 = 1032$.
Разделим 1032 на 37 с остатком: $1032 = 27 \cdot 37 + 33$.
Поскольку остаток не равен нулю, исходное утверждение неверно.
Вероятнее всего, в условии имелось в виду выражение $2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}$. Докажем, что оно кратно 37.
Рассмотрим выражение $2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}$ по модулю 37.
$2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1} = 2^5 \cdot 2^n \cdot (3^4)^n + 5 \cdot (5^3)^n = 32 \cdot 2^n \cdot 81^n + 5 \cdot 125^n$.
Найдем остатки от деления на 37:
$32 \equiv -5 \pmod{37}$.
$81 = 2 \cdot 37 + 7 \implies 81 \equiv 7 \pmod{37}$.
$125 = 3 \cdot 37 + 14 \implies 125 \equiv 14 \pmod{37}$.
Подставим эти значения:
$32 \cdot 2^n \cdot 81^n + 5 \cdot 125^n \equiv -5 \cdot 2^n \cdot 7^n + 5 \cdot 14^n \pmod{37}$.
$\equiv -5 \cdot (2 \cdot 7)^n + 5 \cdot 14^n \pmod{37}$.
$\equiv -5 \cdot 14^n + 5 \cdot 14^n \equiv 0 \pmod{37}$.
Таким образом, исправленное выражение кратно 37 при любом натуральном $n$.
Ответ: Утверждение в исходной формулировке неверно. Доказано для исправленного выражения $2^{n+5} \cdot 3^{4n} + 5^{3n+1}$.

47.28. Используя сравнения по модулю, докажите, что при любом натуральном значении $n$ значение выражения:

1) $17^n + 25 \cdot 4^n$ кратно 13;

2) $15^n + 2^{3n} - 30$ кратно 7;

3) $6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n$ кратно 11;

4) $2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2}$ кратно 17.

1) Чтобы доказать, что выражение $17^n + 25 \cdot 4^n$ кратно 13 при любом натуральном $n$, мы должны показать, что оно сравнимо с нулем по модулю 13, то есть $17^n + 25 \cdot 4^n \equiv 0 \pmod{13}$.
Рассмотрим остатки от деления на 13 для каждого из оснований и коэффициентов:
$17 = 1 \cdot 13 + 4 \implies 17 \equiv 4 \pmod{13}$.
$25 = 1 \cdot 13 + 12 \implies 25 \equiv 12 \pmod{13}$, или удобнее использовать $25 \equiv -1 \pmod{13}$.
Теперь подставим эти сравнения в исходное выражение:
$17^n + 25 \cdot 4^n \equiv 4^n + (-1) \cdot 4^n \pmod{13} \equiv 4^n - 4^n \equiv 0 \pmod{13}$.
Так как остаток от деления выражения на 13 равен 0, то оно кратно 13, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Нужно доказать, что $15^n + 2^{3n} - 30$ кратно 7, то есть $15^n + 2^{3n} - 30 \equiv 0 \pmod{7}$.
Сначала упростим член $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$.
Теперь найдем остатки от деления на 7:
$15 = 2 \cdot 7 + 1 \implies 15 \equiv 1 \pmod{7}$.
$8 = 1 \cdot 7 + 1 \implies 8 \equiv 1 \pmod{7}$, следовательно $2^{3n} = 8^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{7}$.
$30 = 4 \cdot 7 + 2 \implies 30 \equiv 2 \pmod{7}$.
Подставим эти значения в выражение:
$15^n + 2^{3n} - 30 \equiv 1^n + 1 - 2 \pmod{7} \equiv 1 + 1 - 2 \equiv 0 \pmod{7}$.
Это доказывает, что выражение $15^n + 2^{3n} - 30$ кратно 7 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

3) Докажем, что $6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n$ кратно 11, то есть $6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n \equiv 0 \pmod{11}$.
Преобразуем выражение:
$6^{2n} + 3^{n+2} + 3^n = (6^2)^n + 3^n \cdot 3^2 + 3^n = 36^n + 9 \cdot 3^n + 3^n = 36^n + (9+1) \cdot 3^n = 36^n + 10 \cdot 3^n$.
Рассмотрим это выражение по модулю 11:
$36 = 3 \cdot 11 + 3 \implies 36 \equiv 3 \pmod{11}$.
$10 \equiv -1 \pmod{11}$.
Подставляем:
$36^n + 10 \cdot 3^n \equiv 3^n + (-1) \cdot 3^n \pmod{11} \equiv 3^n - 3^n \equiv 0 \pmod{11}$.
Следовательно, выражение делится на 11 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

4) Докажем, что $2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2}$ кратно 17, то есть $2^{5n+3} + 5^n \cdot 3^{n+2} \equiv 0 \pmod{17}$.
Упростим каждый член выражения:
$2^{5n+3} = 2^{5n} \cdot 2^3 = (2^5)^n \cdot 8 = 32^n \cdot 8$.
$5^n \cdot 3^{n+2} = 5^n \cdot 3^n \cdot 3^2 = (5 \cdot 3)^n \cdot 9 = 15^n \cdot 9$.
Выражение принимает вид $8 \cdot 32^n + 9 \cdot 15^n$.
Теперь рассмотрим его по модулю 17:
$32 = 1 \cdot 17 + 15 \implies 32 \equiv 15 \pmod{17}$.
Подставим это в выражение:
$8 \cdot 32^n + 9 \cdot 15^n \equiv 8 \cdot 15^n + 9 \cdot 15^n \pmod{17} \equiv (8+9) \cdot 15^n \pmod{17} \equiv 17 \cdot 15^n \pmod{17}$.
Так как $17 \equiv 0 \pmod{17}$, то $17 \cdot 15^n \equiv 0 \cdot 15^n \equiv 0 \pmod{17}$.
Следовательно, выражение делится на 17 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.