Номер 47.23, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.23. Решите в целых числах уравнение:

1) $x^2 - 3y^2 = 17$;

2) $9x^2 - 28y = 15$;

3) $8x^3 + 7y^3 = 38$.

1) $x^2 - 3y^2 = 17$

Для решения этого диофантова уравнения в целых числах $x$ и $y$, рассмотрим его по модулю 3. Это удобно, так как один из коэффициентов делится на 3.

Запишем сравнение по модулю 3:

$x^2 - 3y^2 \equiv 17 \pmod{3}$

Поскольку $3y^2$ делится на 3, то $3y^2 \equiv 0 \pmod{3}$.

Число 17 при делении на 3 дает остаток 2, так как $17 = 5 \cdot 3 + 2$. Следовательно, $17 \equiv 2 \pmod{3}$.

Таким образом, сравнение принимает вид:

$x^2 \equiv 2 \pmod{3}$

Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 3. Любое целое число $x$ при делении на 3 может давать остаток 0, 1 или 2.

• Если $x \equiv 0 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 0^2 \equiv 0 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 1 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{3}$.
• Если $x \equiv 2 \pmod{3}$, то $x^2 \equiv 2^2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 3 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 2 невозможен.

Поскольку сравнение $x^2 \equiv 2 \pmod{3}$ не имеет решений в целых числах, то и исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

2) $9x^2 - 28y = 15$

Рассмотрим это уравнение по модулю 4. Выбор модуля 4 удобен, так как коэффициент при $y$ (28) делится на 4.

Запишем сравнение по модулю 4:

$9x^2 - 28y \equiv 15 \pmod{4}$

Поскольку $28y$ делится на 4, то $28y \equiv 0 \pmod{4}$.

Коэффициент $9$ при делении на 4 дает остаток 1 ($9 = 2 \cdot 4 + 1$), поэтому $9 \equiv 1 \pmod{4}$.

Число 15 при делении на 4 дает остаток 3 ($15 = 3 \cdot 4 + 3$), поэтому $15 \equiv 3 \pmod{4}$.

Подставляя эти значения в сравнение, получаем:

$1 \cdot x^2 - 0 \equiv 3 \pmod{4}$

$x^2 \equiv 3 \pmod{4}$

Теперь проверим, какие остатки может давать квадрат целого числа при делении на 4. Любое целое число $x$ может быть либо четным ($x=2k$), либо нечетным ($x=2k+1$).

• Если $x$ — четное, $x = 2k$, то $x^2 = (2k)^2 = 4k^2 \equiv 0 \pmod{4}$.
• Если $x$ — нечетное, $x = 2k+1$, то $x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1 \equiv 1 \pmod{4}$.

Таким образом, квадрат любого целого числа при делении на 4 может давать в остатке только 0 или 1. Остаток 3 невозможен.

Так как сравнение $x^2 \equiv 3 \pmod{4}$ не имеет решений, то и исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

3) $8x^3 + 7y^3 = 38$

Для решения этого уравнения рассмотрим его по модулю 7. Это удобно, так как коэффициент при $y^3$ (7) делится на 7.

Запишем сравнение по модулю 7:

$8x^3 + 7y^3 \equiv 38 \pmod{7}$

Поскольку $7y^3$ делится на 7, то $7y^3 \equiv 0 \pmod{7}$.

Коэффициент 8 при делении на 7 дает остаток 1 ($8 = 1 \cdot 7 + 1$), поэтому $8 \equiv 1 \pmod{7}$.

Число 38 при делении на 7 дает остаток 3 ($38 = 5 \cdot 7 + 3$), поэтому $38 \equiv 3 \pmod{7}$.

Сравнение принимает вид:

$1 \cdot x^3 + 0 \equiv 3 \pmod{7}$

$x^3 \equiv 3 \pmod{7}$

Проверим, какие остатки могут давать кубы целых чисел при делении на 7. Вычислим $x^3 \pmod{7}$ для всех возможных остатков $x$ от 0 до 6.

• $0^3 \equiv 0 \pmod{7}$
• $1^3 \equiv 1 \pmod{7}$
• $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$
• $3^3 = 27 = 3 \cdot 7 + 6 \equiv 6 \pmod{7}$
• $4^3 = 64 = 9 \cdot 7 + 1 \equiv 1 \pmod{7}$
• $5^3 = 125 = 17 \cdot 7 + 6 \equiv 6 \pmod{7}$
• $6^3 = 216 = 30 \cdot 7 + 6 \equiv 6 \pmod{7}$ (или $6 \equiv -1 \pmod{7}$, тогда $6^3 \equiv (-1)^3 = -1 \equiv 6 \pmod{7}$)

Возможные остатки от деления куба целого числа на 7 — это 0, 1 и 6. Остаток 3 невозможен.

Поскольку сравнение $x^3 \equiv 3 \pmod{7}$ не имеет решений, исходное уравнение также не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.