Номер 47.26, страница 366 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.26. Найдите все натуральные значения $n$, при которых значение выражения $3^n - 1$ делится нацело на 13.

Условие, что выражение $3^n - 1$ делится нацело на 13, можно записать в виде сравнения по модулю:

$3^n - 1 \equiv 0 \pmod{13}$

что эквивалентно следующему выражению:

$3^n \equiv 1 \pmod{13}$

Чтобы найти все натуральные значения $n$, удовлетворяющие этому условию, рассмотрим остатки от деления степеней числа 3 на 13 для первых нескольких натуральных $n$:

• При $n=1$: $3^1 = 3$. Остаток от деления на 13 равен 3, то есть $3^1 \equiv 3 \pmod{13}$.
• При $n=2$: $3^2 = 9$. Остаток от деления на 13 равен 9, то есть $3^2 \equiv 9 \pmod{13}$.
• При $n=3$: $3^3 = 27$. При делении 27 на 13 получаем $27 = 2 \cdot 13 + 1$. Остаток равен 1, то есть $3^3 \equiv 1 \pmod{13}$.

Мы нашли наименьшее натуральное значение $n=3$, при котором $3^n$ сравнимо с 1 по модулю 13. Это означает, что остатки от деления степеней тройки на 13 будут циклически повторяться с периодом 3. Например:

• $3^4 = 3^3 \cdot 3^1 \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3 \pmod{13}$
• $3^5 = 3^3 \cdot 3^2 \equiv 1 \cdot 9 \equiv 9 \pmod{13}$
• $3^6 = (3^3)^2 \equiv 1^2 \equiv 1 \pmod{13}$

В общем виде, любое натуральное число $n$ можно представить как $n = 3k + r$, где $k$ — неотрицательное целое число, а $r$ — остаток от деления $n$ на 3, то есть $r \in \{0, 1, 2\}$. Тогда:

$3^n = 3^{3k+r} = (3^3)^k \cdot 3^r$

Поскольку $3^3 \equiv 1 \pmod{13}$, то $(3^3)^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{13}$. Следовательно, $3^n \equiv 1 \cdot 3^r \equiv 3^r \pmod{13}$.

Для выполнения исходного условия $3^n \equiv 1 \pmod{13}$ необходимо, чтобы $3^r \equiv 1 \pmod{13}$. Рассмотрим возможные значения остатка $r$:

• Если $r=0$, то $3^0 = 1$, что удовлетворяет условию $1 \equiv 1 \pmod{13}$.
• Если $r=1$, то $3^1 = 3$, что не удовлетворяет условию $3 \equiv 1 \pmod{13}$.
• Если $r=2$, то $3^2 = 9$, что не удовлетворяет условию $9 \equiv 1 \pmod{13}$.

Таким образом, единственно возможным значением остатка является $r=0$. Это означает, что число $n$ должно делиться на 3 без остатка. Поскольку по условию $n$ — натуральное число, оно должно быть положительным числом, кратным 3.

Все такие числа можно записать в виде формулы $n = 3k$, где $k$ — любое натуральное число.

Ответ: $n = 3k$, где $k \in \mathbb{N}$.