Номер 47.31, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

47.31. Докажите, что среди чисел вида $5^n + 5^m$ ($m$ и $n$ — натуральные числа) нет ни одного квадрата натурального числа.

а)

Требуется доказать, что число вида $5^n + 5^m$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, не может быть квадратом натурального числа. Обозначим данное число как $A = 5^n + 5^m$. Предположим от противного, что $A$ является полным квадратом, то есть $A = k^2$ для некоторого натурального числа $k$.

Не нарушая общности, предположим, что $n \le m$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $n = m$.

В этом случае выражение для $A$ принимает вид: $A = 5^n + 5^n = 2 \cdot 5^n$. Для того чтобы число было полным квадратом, все показатели степеней в его разложении на простые множители должны быть четными. В разложении числа $A = 2^1 \cdot 5^n$ на простые множители множитель $2$ имеет показатель степени $1$, что является нечетным числом. Следовательно, $A$ не может быть квадратом натурального числа.

Случай 2: $n < m$.

Вынесем за скобки $5^n$: $A = 5^n(1 + 5^{m-n})$. Пусть $d = m - n$. Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа и $n < m$, то $d$ также является натуральным числом ($d \ge 1$). Тогда $A = 5^n(1 + 5^d)$.

По нашему предположению, $A = k^2$, следовательно, $5^n(1 + 5^d) = k^2$. Рассмотрим множители $5^n$ и $(1 + 5^d)$. Число $5^n$ делится на 5 (так как $n \ge 1$). Число $1 + 5^d$ при делении на 5 дает в остатке 1, значит, оно не делится на 5. Таким образом, числа $5^n$ и $(1 + 5^d)$ не имеют общих делителей, кроме 1, то есть они взаимно просты.

Известно, что если произведение двух взаимно простых чисел является полным квадратом, то каждое из этих чисел само по себе должно быть полным квадратом. Отсюда следует, что должны одновременно выполняться два условия:
1) $5^n$ — полный квадрат.
2) $1 + 5^d$ — полный квадрат.

Для выполнения первого условия необходимо, чтобы показатель степени $n$ был четным числом. Это возможно.

Рассмотрим второе условие. Пусть $1 + 5^d = s^2$ для некоторого натурального числа $s$. Тогда $5^d = s^2 - 1$. Разложим правую часть по формуле разности квадратов: $5^d = (s-1)(s+1)$. Так как $5$ — простое число, а $(s-1)$ и $(s+1)$ — целые числа, то каждый из этих множителей должен быть степенью числа 5. Пусть $s-1 = 5^x$ и $s+1 = 5^y$, где $x$ и $y$ — целые неотрицательные числа.

Поскольку $s+1 > s-1$, должно выполняться неравенство $y > x$. Найдем разность этих двух выражений: $(s+1) - (s-1) = 2$ $5^y - 5^x = 2$ Вынесем $5^x$ за скобки: $5^x(5^{y-x} - 1) = 2$.

Так как $x$ — целое неотрицательное число, $5^x$ является делителем числа 2. Единственная степень пятерки, которая является делителем 2, — это $5^0 = 1$. Следовательно, $x=0$.

Подставим $x=0$ в уравнение $5^x(5^{y-x} - 1) = 2$: $5^0(5^{y-0} - 1) = 2$ $1 \cdot (5^y - 1) = 2$ $5^y - 1 = 2$ $5^y = 3$. Это уравнение не имеет решений в целых числах $y$. Мы получили противоречие.

Это означает, что наше предположение о том, что $1 + 5^d$ может быть полным квадратом, неверно. Следовательно, и во втором случае число $A$ не является квадратом натурального числа.

Поскольку ни в одном из случаев число вида $5^n + 5^m$ не может быть квадратом натурального числа, исходное утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что среди чисел вида $5^n + 5^m$ (m и n — натуральные числа) нет ни одного квадрата натурального числа.