gdz.top
Номер 47.36, страница 367 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 47. Деление с остатком. Сравнения по модулю и их свойства - номер 47.36, страница 367.
№47.35
№47.36 (с. 367)
Условие. №47.36 (с. 367)
47.36. Докажите, что среди натуральных степеней числа 2 существуют две такие, что их разность кратна числу 1001.
Решение. №47.36 (с. 367)
Для доказательства данного утверждения воспользуемся принципом Дирихле.
Рассмотрим последовательность, состоящую из 1002 различных натуральных степеней числа 2:
$2^1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{1002}$
Теперь рассмотрим остатки от деления каждого члена этой последовательности на число 1001. При делении любого целого числа на 1001 существует 1001 возможный остаток: $0, 1, 2, \ldots, 1000$.
Таким образом, у нас есть 1002 числа (степени двойки) и 1001 возможный вариант для остатка. Согласно принципу Дирихле, если число объектов (в нашем случае, 1002) больше числа возможных категорий (1001), то как минимум два объекта должны попасть в одну и ту же категорию.
Это означает, что в нашей последовательности найдутся по крайней мере две различные степени, обозначим их $2^m$ и $2^n$ (где $m$ и $n$ — натуральные числа, и для определенности пусть $m > n$), которые имеют одинаковый остаток при делении на 1001.
Этот факт можно записать в виде сравнения по модулю:
$2^m \equiv 2^n \pmod{1001}$
По определению сравнения, это означает, что разность $(2^m - 2^n)$ делится на 1001 нацело, то есть является кратной числу 1001.
Следовательно, мы доказали, что среди натуральных степеней числа 2 существуют две такие, что их разность кратна числу 1001. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 47.36 расположенного на странице 367 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №47.36 (с. 367), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.