Номер 48.5, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.5. Чему может быть равным НОД ($a$; $b$), если:

1) $a = 2n + 1, b = 2n + 3;$

2) $a = 2n + 1, b = 8n + 7?$

1) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел $a = 2n + 1$ и $b = 2n + 3$ воспользуемся свойством НОД, которое является основой алгоритма Евклида: $НОД(x, y) = НОД(x, y - x)$.

Применим это свойство к нашим числам:

$НОД(a, b) = НОД(2n + 1, 2n + 3) = НОД(2n + 1, (2n + 3) - (2n + 1)) = НОД(2n + 1, 2)$.

Полученное выражение означает, что НОД наших чисел является общим делителем чисел $2n + 1$ и $2$. Следовательно, он должен быть делителем числа $2$. Делителями числа $2$ являются $1$ и $2$.

Однако, число $a = 2n + 1$ является нечётным при любом целом значении $n$, так как $2n$ — это всегда чётное число. Нечётное число не может делиться на $2$. Следовательно, $НОД(2n + 1, 2)$ не может быть равен $2$.

Таким образом, единственно возможное значение для НОД в данном случае — это $1$.

Ответ: $1$.

2) Найдём НОД чисел $a = 2n + 1$ и $b = 8n + 7$. Воспользуемся свойством НОД: $НОД(x, y) = НОД(x, y - k \cdot x)$ для любого целого числа $k$.

Наша цель — упростить выражение, избавившись от переменной $n$ в одном из аргументов. Заметим, что $8n + 4 = 4 \cdot (2n + 1)$.

Применим свойство, вычтя из $b$ число $a$, умноженное на $4$:

$НОД(a, b) = НОД(2n + 1, 8n + 7) = НОД(2n + 1, (8n + 7) - 4 \cdot (2n + 1))$.

$НОД(2n + 1, 8n + 7 - 8n - 4) = НОД(2n + 1, 3)$.

Наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ равен $НОД(2n + 1, 3)$. Это означает, что он может быть только делителем числа $3$. Делители числа $3$ — это $1$ и $3$.

Теперь проверим, могут ли оба этих значения быть НОД в зависимости от $n$.

• НОД может быть равен $3$, если $2n + 1$ делится на $3$ без остатка. Например, если $n = 1$, то $a = 2(1) + 1 = 3$ и $b = 8(1) + 7 = 15$. $НОД(3, 15) = 3$. Значит, $3$ — возможное значение.

• НОД может быть равен $1$, если $2n + 1$ не делится на $3$. Например, если $n = 2$, то $a = 2(2) + 1 = 5$ и $b = 8(2) + 7 = 23$. $НОД(5, 23) = 1$. Значит, $1$ — тоже возможное значение.

Следовательно, НОД может принимать значения $1$ или $3$.

Ответ: $1$ или $3$.