Страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.2. Найдите НОД чисел:

1) 899 и 1073;

2) 4757 и 5561.

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел используется алгоритм Евклида. Этот метод заключается в последовательном делении большего числа на меньшее с остатком. Затем делитель заменяется остатком, и процесс повторяется до тех пор, пока остаток не станет равен нулю. Последний ненулевой остаток и будет являться НОД исходных чисел.

1) 899 и 1073

Применим алгоритм Евклида для чисел 1073 и 899.

Шаг 1: Разделим большее число (1073) на меньшее (899):
$1073 = 1 \cdot 899 + 174$
Остаток равен 174. Теперь ищем НОД для чисел 899 и 174.

Шаг 2: Разделим 899 на 174:
$899 = 5 \cdot 174 + 29$
Остаток равен 29. Теперь ищем НОД для чисел 174 и 29.

Шаг 3: Разделим 174 на 29:
$174 = 6 \cdot 29 + 0$
Остаток равен 0. Процесс завершен. Последний ненулевой остаток — это 29.

Следовательно, НОД(899, 1073) = 29.

Ответ: 29.

2) 4757 и 5561

Применим алгоритм Евклида для чисел 5561 и 4757.

Шаг 1: Разделим большее число (5561) на меньшее (4757):
$5561 = 1 \cdot 4757 + 804$
Остаток равен 804. Теперь ищем НОД для чисел 4757 и 804.

Шаг 2: Разделим 4757 на 804:
$4757 = 5 \cdot 804 + 737$
Остаток равен 737. Теперь ищем НОД для чисел 804 и 737.

Шаг 3: Разделим 804 на 737:
$804 = 1 \cdot 737 + 67$
Остаток равен 67. Теперь ищем НОД для чисел 737 и 67.

Шаг 4: Разделим 737 на 67:
$737 = 11 \cdot 67 + 0$
Остаток равен 0. Процесс завершен. Последний ненулевой остаток — это 67.

Следовательно, НОД(4757, 5561) = 67.

Ответ: 67.

48.3. Докажите, что для любого $n \in N$:

1) НОД $(n; n + 1) = 1$;

2) НОД $(2n; 2n + 2) = 2$.

1) Пусть $d = \text{НОД}(n; n+1)$. По определению наибольшего общего делителя, $d$ является делителем как числа $n$, так и числа $n+1$.
Из свойств делимости следует, что если число делит два других числа, то оно также делит их разность.
Разность чисел $n+1$ и $n$ равна: $(n+1) - n = 1$.
Следовательно, $d$ является делителем числа 1.
Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in N$), то $d$ также должен быть натуральным числом. Единственный натуральный делитель числа 1 — это 1.
Значит, $d=1$.
Ответ: $\text{НОД}(n; n+1) = 1$.

2) Воспользуемся свойством наибольшего общего делителя: $\text{НОД}(k \cdot a; k \cdot b) = k \cdot \text{НОД}(a; b)$ для любого натурального $k$.
Рассмотрим выражение $\text{НОД}(2n; 2n+2)$. Мы можем представить его в следующем виде:
$\text{НОД}(2n; 2n+2) = \text{НОД}(2 \cdot n; 2 \cdot (n+1))$.
Вынесем общий множитель 2 за знак НОД:
$2 \cdot \text{НОД}(n; n+1)$.
Как доказано в пункте 1), $\text{НОД}(n; n+1) = 1$.
Подставим это значение в выражение:
$2 \cdot 1 = 2$.
Следовательно, искомое значение равно 2.
Ответ: $\text{НОД}(2n; 2n+2) = 2$.

48.4. Докажите, что для любого $ n \in N $:

1) НОД $ (n; 2n + 1) = 1; $

2) НОД $ (8n + 4; 4n) = 4. $

1) Для доказательства воспользуемся свойством наибольшего общего делителя (НОД), основанным на алгоритме Евклида: для любых целых чисел $a, b, k$ справедливо равенство $НОД(a, b) = НОД(a, b - k \cdot a)$.
Применим это свойство к $НОД(n; 2n + 1)$. Положим $a = n$, $b = 2n + 1$ и $k = 2$.
$НОД(n; 2n + 1) = НОД(n; (2n + 1) - 2 \cdot n) = НОД(n; 1)$.
Наибольший общий делитель любого натурального числа $n$ и числа 1 равен 1.
Следовательно, $НОД(n; 2n + 1) = 1$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) Аналогично первому пункту, воспользуемся свойством $НОД(a, b) = НОД(a - k \cdot b, b)$.
Применим это свойство к $НОД(8n + 4; 4n)$. Положим $a = 8n + 4$, $b = 4n$ и $k = 2$.
$НОД(8n + 4; 4n) = НОД((8n + 4) - 2 \cdot 4n; 4n) = НОД(8n + 4 - 8n; 4n) = НОД(4; 4n)$.
Теперь необходимо найти $НОД(4; 4n)$. Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in N$), выражение $4n$ всегда кратно 4. Это означает, что 4 является общим делителем чисел 4 и $4n$. Так как 4 является наибольшим из всех делителей числа 4, то он же является и наибольшим общим делителем.
Следовательно, $НОД(4; 4n) = 4$, из чего следует, что и $НОД(8n + 4; 4n) = 4$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

48.5. Чему может быть равным НОД ($a$; $b$), если:

1) $a = 2n + 1, b = 2n + 3;$

2) $a = 2n + 1, b = 8n + 7?$

1) Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел $a = 2n + 1$ и $b = 2n + 3$ воспользуемся свойством НОД, которое является основой алгоритма Евклида: $НОД(x, y) = НОД(x, y - x)$.

Применим это свойство к нашим числам:

$НОД(a, b) = НОД(2n + 1, 2n + 3) = НОД(2n + 1, (2n + 3) - (2n + 1)) = НОД(2n + 1, 2)$.

Полученное выражение означает, что НОД наших чисел является общим делителем чисел $2n + 1$ и $2$. Следовательно, он должен быть делителем числа $2$. Делителями числа $2$ являются $1$ и $2$.

Однако, число $a = 2n + 1$ является нечётным при любом целом значении $n$, так как $2n$ — это всегда чётное число. Нечётное число не может делиться на $2$. Следовательно, $НОД(2n + 1, 2)$ не может быть равен $2$.

Таким образом, единственно возможное значение для НОД в данном случае — это $1$.

Ответ: $1$.

2) Найдём НОД чисел $a = 2n + 1$ и $b = 8n + 7$. Воспользуемся свойством НОД: $НОД(x, y) = НОД(x, y - k \cdot x)$ для любого целого числа $k$.

Наша цель — упростить выражение, избавившись от переменной $n$ в одном из аргументов. Заметим, что $8n + 4 = 4 \cdot (2n + 1)$.

Применим свойство, вычтя из $b$ число $a$, умноженное на $4$:

$НОД(a, b) = НОД(2n + 1, 8n + 7) = НОД(2n + 1, (8n + 7) - 4 \cdot (2n + 1))$.

$НОД(2n + 1, 8n + 7 - 8n - 4) = НОД(2n + 1, 3)$.

Наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ равен $НОД(2n + 1, 3)$. Это означает, что он может быть только делителем числа $3$. Делители числа $3$ — это $1$ и $3$.

Теперь проверим, могут ли оба этих значения быть НОД в зависимости от $n$.

• НОД может быть равен $3$, если $2n + 1$ делится на $3$ без остатка. Например, если $n = 1$, то $a = 2(1) + 1 = 3$ и $b = 8(1) + 7 = 15$. $НОД(3, 15) = 3$. Значит, $3$ — возможное значение.

• НОД может быть равен $1$, если $2n + 1$ не делится на $3$. Например, если $n = 2$, то $a = 2(2) + 1 = 5$ и $b = 8(2) + 7 = 23$. $НОД(5, 23) = 1$. Значит, $1$ — тоже возможное значение.

Следовательно, НОД может принимать значения $1$ или $3$.

Ответ: $1$ или $3$.

48.6. Докажите, что при любом $n \in \mathbb{N}$ является несократимой дробь:

1) $\frac{4n + 3}{20n + 23}$;

2) $\frac{12n + 1}{30n + 2}$.

1) Чтобы доказать, что дробь $ \frac{4n+3}{20n+23} $ является несократимой при любом натуральном $n$, нужно показать, что наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя равен 1.

Пусть $d = \text{НОД}(4n+3, 20n+23)$. По определению НОД, $d$ является делителем как числителя, так и знаменателя. Это означает, что $ (4n+3) $ делится на $d$ и $ (20n+23) $ делится на $d$.

Если два числа делятся на $d$, то и их любая линейная комбинация также делится на $d$. Воспользуемся этим свойством, чтобы избавиться от переменной $n$. Умножим первое выражение на 5:

$5 \cdot (4n+3) = 20n+15$.

Поскольку $ (4n+3) $ делится на $d$, то и $ (20n+15) $ делится на $d$. Также мы знаем, что $ (20n+23) $ делится на $d$. Следовательно, их разность тоже должна делиться на $d$:

$(20n+23) - (20n+15) = 20n+23-20n-15 = 8$.

Это означает, что $d$ является делителем числа 8. Натуральные делители числа 8: 1, 2, 4, 8. Таким образом, $d$ может быть одним из этих чисел.

Теперь проанализируем выражение в числителе: $4n+3$. Для любого натурального $n \in N$, число $4n$ является четным. Сумма четного числа ($4n$) и нечетного числа (3) всегда является нечетным числом.

Так как $4n+3$ — нечетное число, оно не может иметь четных делителей (2, 4, 8). Следовательно, из всех возможных значений для общего делителя $d$ подходит только 1.

Таким образом, $ \text{НОД}(4n+3, 20n+23) = 1 $, что доказывает, что дробь несократима при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

2) Аналогично докажем, что дробь $ \frac{12n+1}{30n+2} $ является несократимой, показав, что $ \text{НОД}(12n+1, 30n+2) = 1 $ для любого натурального $n$.

Пусть $d = \text{НОД}(12n+1, 30n+2)$. Тогда $ (12n+1) $ делится на $d$ и $ (30n+2) $ делится на $d$.

Чтобы исключить переменную $n$, найдем подходящую линейную комбинацию. Наименьшее общее кратное коэффициентов при $n$ (12 и 30) равно 60. Умножим первое выражение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $n$ стали равными:

$5 \cdot (12n+1) = 60n+5$

$2 \cdot (30n+2) = 60n+4$

Оба полученных выражения, $60n+5$ и $60n+4$, должны делиться на $d$. Следовательно, их разность также делится на $d$:

$(60n+5) - (60n+4) = 60n+5-60n-4 = 1$.

Поскольку их разность равна 1, их общий делитель $d$ должен быть делителем числа 1. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1.

Таким образом, $d = \text{НОД}(12n+1, 30n+2) = 1$, что и требовалось доказать. Дробь является несократимой.

Ответ: Доказано.

48.7. Докажите, что при любом $n \in \mathbb{Z}$ значение выражения:

1) $n^3 + 3n^2 + 2n$ кратно 6;

2) $n^4 - n^2$ кратно 12.

1) Докажем, что выражение $n^3 + 3n^2 + 2n$ кратно 6 при любом целом $n$.

Сначала разложим данное выражение на множители. Вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2)$

Далее разложим на множители квадратный трехчлен $n^2 + 3n + 2$. Его корнями являются числа $-1$ и $-2$, поскольку их сумма равна $-3$, а произведение равно $2$. Тогда:

$n^2 + 3n + 2 = (n - (-1))(n - (-2)) = (n+1)(n+2)$

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$n(n+1)(n+2)$

Это произведение трех последовательных целых чисел. Чтобы доказать, что оно кратно 6, необходимо доказать, что оно делится на 2 и на 3 (поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа, и $2 \cdot 3 = 6$).

Делимость на 2: Среди трех последовательных целых чисел есть как минимум одно четное число. Следовательно, их произведение всегда делится на 2.

Делимость на 3: Среди любых трех последовательных целых чисел одно из них обязательно делится на 3. Следовательно, их произведение всегда делится на 3.

Поскольку выражение делится и на 2, и на 3, оно делится на их произведение, то есть на 6. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что выражение $n^4 - n^2$ кратно 12 при любом целом $n$.

Разложим выражение на множители, вынеся за скобки $n^2$:

$n^4 - n^2 = n^2(n^2 - 1)$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$n^2(n^2 - 1) = n^2(n-1)(n+1)$

Переставим множители для удобства: $(n-1)n(n+1)n$.

Чтобы доказать, что выражение кратно 12, необходимо доказать, что оно делится на 3 и на 4 (поскольку 3 и 4 — взаимно простые числа, и $3 \cdot 4 = 12$).

Делимость на 3: В выражении присутствует произведение трех последовательных целых чисел $(n-1)n(n+1)$. Как показано выше, такое произведение всегда делится на 3. Следовательно, все выражение $n^2(n-1)(n+1)$ делится на 3.

Делимость на 4: Рассмотрим два случая в зависимости от четности $n$.

Случай 1: $n$ — четное число.

Если $n$ — четное, его можно представить как $n = 2k$, где $k$ — целое число. Тогда $n^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Так как $n^2$ делится на 4, то и все произведение $n^2(n-1)(n+1)$ делится на 4.

Случай 2: $n$ — нечетное число.

Если $n$ — нечетное, то числа $n-1$ и $n+1$ являются двумя последовательными четными числами. Пусть $n = 2k+1$, где $k$ — целое число. Тогда:

$n-1 = 2k$

$n+1 = 2k+2 = 2(k+1)$

Их произведение равно $(n-1)(n+1) = 2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$. Это произведение очевидно делится на 4. Следовательно, и все выражение $n^2(n-1)(n+1)$ делится на 4.

Таким образом, выражение делится на 4 при любом целом $n$.

Поскольку выражение $n^4 - n^2$ делится и на 3, и на 4, оно делится на их произведение, то есть на 12. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

48.8. Докажите, что при любом $n \in \mathbb{Z}$ значение выражения:

1) $n^3 + 11n$ кратно 6;

2) $(n^2 - 1)(n^2 - 2n)$ кратно 24.

1)

Чтобы доказать, что выражение $n^3 + 11n$ кратно 6 при любом $n \in Z$, преобразуем его. Для кратности 6 необходимо и достаточно, чтобы выражение было кратно 2 и 3.

Представим выражение в виде суммы: $n^3 + 11n = n^3 - n + 12n$.

Слагаемое $12n$ кратно 6 при любом целом $n$, так как $12$ делится на 6.

Рассмотрим второе слагаемое, $n^3 - n$. Разложим его на множители:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)$.

Это произведение трех последовательных целых чисел. Среди трех последовательных целых чисел всегда есть как минимум одно четное число (кратное 2) и ровно одно число, кратное 3. Следовательно, их произведение всегда кратно $2 \times 3 = 6$.

Таким образом, $n^3 - n$ кратно 6. Поскольку оба слагаемых в выражении $(n^3 - n) + 12n$ кратны 6, то и их сумма $n^3 + 11n$ кратна 6, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Рассмотрим выражение $(n^2 - 1)(n^2 - 2n)$. Чтобы доказать, что оно кратно 24 при любом $n \in Z$, разложим его на множители.

$(n^2 - 1)(n^2 - 2n) = (n - 1)(n + 1)n(n - 2)$.

Переставим множители для удобства: $(n - 2)(n - 1)n(n + 1)$.

Полученное выражение является произведением четырех последовательных целых чисел. Чтобы доказать кратность 24, докажем кратность 3 и 8 (поскольку $24 = 3 \times 8$, а числа 3 и 8 взаимно простые).

Делимость на 3: Среди любых четырех последовательных целых чисел всегда найдется хотя бы одно число, кратное 3. Поэтому все произведение кратно 3.

Делимость на 8: Среди любых четырех последовательных целых чисел есть ровно два четных числа. Эти два числа являются последовательными четными, т.е. их можно представить как $2k$ и $2k+2$ для некоторого целого $k$. Их произведение равно $2k(2k+2) = 4k(k+1)$. Произведение $k(k+1)$ — это произведение двух последовательных целых чисел, оно всегда четно, то есть делится на 2. Значит, произведение двух четных чисел из нашей последовательности делится на $4 \times 2 = 8$. Следовательно, все произведение $(n - 2)(n - 1)n(n + 1)$ кратно 8.

Поскольку выражение кратно и 3, и 8, оно кратно их произведению, то есть 24, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

48.9. Существуют ли такие целые числа a, b и c, что:

1) $a + b + c + a^2 + b^2 + c^2 = 1001;$

2) $a^3 + b^3 + c^3 - a - b - c = 1004?$

1) Рассмотрим уравнение $a + b + c + a^2 + b^2 + c^2 = 1001$.

Преобразуем левую часть уравнения, сгруппировав слагаемые:

$(a^2 + a) + (b^2 + b) + (c^2 + c) = 1001$

Вынесем общий множитель в каждой скобке:

$a(a+1) + b(b+1) + c(c+1) = 1001$

Выражение вида $n(n+1)$, где $n$ — целое число, представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел обязательно является четным, следовательно, их произведение $n(n+1)$ всегда является четным числом.

Таким образом, каждое из трех слагаемых в левой части уравнения — $a(a+1)$, $b(b+1)$ и $c(c+1)$ — является четным числом.

Сумма трех четных чисел всегда является четным числом. Это означает, что левая часть уравнения при любых целых $a$, $b$ и $c$ будет четной.

Однако правая часть уравнения равна 1001, что является нечетным числом.

Мы получили противоречие: четное число (левая часть) не может равняться нечетному числу (правая часть). Следовательно, не существует таких целых чисел $a$, $b$ и $c$, которые удовлетворяли бы данному уравнению.

Ответ: не существуют.

2) Рассмотрим уравнение $a^3 + b^3 + c^3 - a - b - c = 1004$.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(a^3 - a) + (b^3 - b) + (c^3 - c) = 1004$

Рассмотрим выражение вида $n^3 - n$ для любого целого числа $n$. Разложим его на множители:

$n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1)n(n+1)$

Это выражение представляет собой произведение трех последовательных целых чисел. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3. Следовательно, их произведение $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на 3 без остатка.

Таким образом, каждое из слагаемых в левой части уравнения — $(a^3 - a)$, $(b^3 - b)$ и $(c^3 - c)$ — делится на 3.

Сумма трех чисел, каждое из которых делится на 3, также должна делиться на 3. Значит, вся левая часть уравнения делится на 3.

Теперь проверим правую часть уравнения — число 1004 — на делимость на 3. Для этого найдем сумму его цифр: $1 + 0 + 0 + 4 = 5$.

Поскольку сумма цифр (5) не делится на 3, то и само число 1004 не делится на 3.

Мы пришли к противоречию: левая часть уравнения должна делиться на 3, а правая — не делится. Такое равенство для целых чисел невозможно. Следовательно, не существует таких целых чисел $a$, $b$ и $c$, которые удовлетворяли бы данному уравнению.

Ответ: не существуют.

48.10. Докажите, что при любом $n \in \mathbb{Z}$ является целым числом значение выражения:

1) $\frac{n^3 + 5n}{6}$;

2) $\frac{n(n + 1)^2 (n + 2)}{12}$,

3) $\frac{(n^2 - 1)(n^2 + 2n)}{24}$.

1)

Чтобы доказать, что выражение $\frac{n^3+5n}{6}$ является целым числом, необходимо показать, что его числитель, $n^3+5n$, делится на 6 при любом целом $n$. Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Преобразуем выражение в числителе, выделив слагаемое, заведомо кратное 6:
$n^3+5n = n^3-n+6n = n(n^2-1)+6n = (n-1)n(n+1)+6n$.

Выражение $6n$ очевидно делится на 6 при любом $n \in Z$.

Рассмотрим выражение $(n-1)n(n+1)$. Это произведение трех последовательных целых чисел.

• Среди трех последовательных целых чисел всегда есть хотя бы одно четное число, поэтому их произведение делится на 2.
• Среди трех последовательных целых чисел всегда есть ровно одно число, кратное 3, поэтому их произведение делится на 3.

Поскольку произведение $(n-1)n(n+1)$ делится на 2 и на 3 (а числа 2 и 3 взаимно простые), оно делится на их произведение, то есть на 6.

Итак, $n^3+5n$ является суммой двух слагаемых, $(n-1)n(n+1)$ и $6n$, каждое из которых делится на 6. Следовательно, вся сумма $n^3+5n$ делится на 6.

Ответ: Поскольку числитель $n^3+5n$ всегда делится на 6, значение выражения $\frac{n^3+5n}{6}$ является целым числом при любом $n \in Z$.

2)

Необходимо доказать, что выражение $\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$ является целым числом. Для этого покажем, что числитель $A = n(n+1)^2(n+2)$ делится на 12. Число делится на 12, если оно одновременно делится на 3 и на 4 (так как НОД(3, 4) = 1).

Представим числитель в виде $A = [n(n+1)(n+2)] \cdot (n+1)$.

Делимость на 3:
Множитель $n(n+1)(n+2)$ является произведением трех последовательных целых чисел. Среди них всегда есть одно, кратное 3. Следовательно, все произведение $A$ делится на 3.

Делимость на 4:
Рассмотрим два возможных случая для $n$:

1. Если $n$ — четное число, то $n=2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $n+2 = 2k+2 = 2(k+1)$. В этом случае произведение $A$ содержит множители $n$ и $n+2$, и их произведение $n(n+2) = 2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$. Значит, $A$ делится на 4.
2. Если $n$ — нечетное число, то $n+1$ — четное. Пусть $n+1=2k$ для некоторого целого $k$. Тогда множитель $(n+1)^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Следовательно, $A$ делится на 4.

Поскольку выражение $A$ делится и на 3, и на 4, оно делится на их произведение, равное 12.

Ответ: Так как числитель $n(n+1)^2(n+2)$ всегда делится на 12, значение выражения $\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$ является целым числом при любом $n \in Z$.

3)

Докажем, что выражение $\frac{(n^2-1)(n^2+2n)}{24}$ является целым числом. Для этого нужно показать, что числитель $C = (n^2-1)(n^2+2n)$ делится на 24. Число делится на 24, если оно делится на 3 и на 8 (так как НОД(3, 8) = 1).

Разложим числитель на множители:
$C = (n^2-1)(n^2+2n) = (n-1)(n+1) \cdot n(n+2)$.
Переставив множители, получим произведение четырех последовательных целых чисел:
$C = (n-1)n(n+1)(n+2)$.

Делимость на 3:
Среди четырех последовательных целых чисел обязательно есть хотя бы одно, которое делится на 3. Следовательно, их произведение $C$ делится на 3.

Делимость на 8:
Среди четырех последовательных целых чисел есть ровно два четных числа. Эти четные числа являются последовательными, например $m$ и $m+2$. Одно из них делится на 2, а другое — на 4. Действительно, пусть четные числа это $2k$ и $2k+2=2(k+1)$. Их произведение равно $2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$. Так как $k$ и $k+1$ — последовательные целые числа, одно из них четное, поэтому их произведение $k(k+1)$ делится на 2. Таким образом, произведение двух четных чисел из нашей последовательности делится на $4 \cdot 2 = 8$. Следовательно, все произведение $C$ делится на 8.

Поскольку выражение $C$ делится и на 3, и на 8, оно делится на их произведение, равное 24.

Ответ: Так как числитель $(n^2-1)(n^2+2n)$ всегда делится на 24, значение выражения $\frac{(n^2-1)(n^2+2n)}{24}$ является целым числом при любом $n \in Z$.

48.11. Найдите хотя бы одну пару целых чисел, являющуюся решением уравнения $73x - 13y = 1$.

Для нахождения целочисленного решения уравнения $73x - 13y = 1$ воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида. Это линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$, где $a=73$, $b=-13$, $c=1$. Решение существует, так как наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$ равен 1 (числа 73 и 13 простые), и 1 делится на 1.

Сначала применим алгоритм Евклида для нахождения НОД(73, 13):

• $73 = 5 \cdot 13 + 8$
• $13 = 1 \cdot 8 + 5$
• $8 = 1 \cdot 5 + 3$
• $5 = 1 \cdot 3 + 2$
• $3 = 1 \cdot 2 + 1$

НОД(73, 13) = 1. Теперь, используя эти равенства в обратном порядке, выразим 1 через 73 и 13.

Из последнего равенства имеем:
$1 = 3 - 1 \cdot 2$

Подставим выражение для 2 из предпоследнего равенства ($2 = 5 - 1 \cdot 3$):
$1 = 3 - 1 \cdot (5 - 1 \cdot 3) = 3 - 5 + 3 = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5$

Подставим выражение для 3 ($3 = 8 - 1 \cdot 5$):
$1 = 2 \cdot (8 - 1 \cdot 5) - 1 \cdot 5 = 2 \cdot 8 - 2 \cdot 5 - 1 \cdot 5 = 2 \cdot 8 - 3 \cdot 5$

Подставим выражение для 5 ($5 = 13 - 1 \cdot 8$):
$1 = 2 \cdot 8 - 3 \cdot (13 - 1 \cdot 8) = 2 \cdot 8 - 3 \cdot 13 + 3 \cdot 8 = 5 \cdot 8 - 3 \cdot 13$

Наконец, подставим выражение для 8 ($8 = 73 - 5 \cdot 13$):
$1 = 5 \cdot (73 - 5 \cdot 13) - 3 \cdot 13 = 5 \cdot 73 - 25 \cdot 13 - 3 \cdot 13 = 5 \cdot 73 - 28 \cdot 13$

Таким образом, мы получили равенство $73 \cdot 5 - 13 \cdot 28 = 1$.
Сравнивая это равенство с исходным уравнением $73x - 13y = 1$, мы находим одно из частных решений: $x=5$ и $y=28$.

Проверим найденное решение, подставив значения в уравнение:
$73 \cdot 5 - 13 \cdot 28 = 365 - 364 = 1$.
$1 = 1$.
Равенство выполняется, следовательно, пара чисел (5; 28) является решением уравнения.

Ответ: (5; 28).

48.12. От прямоугольника размерами $324 \times 141$ мм отрезают квадраты со стороной 141 мм, пока не останется прямоугольник, у которого длина одной стороны меньше, чем 141 мм. От полученного прямоугольника снова отрезают квадраты, сторона которых равна длине его меньшей стороны, и т. д. Какова длина стороны последнего квадрата?

Этот процесс представляет собой геометрическую реализацию алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел, равных длинам сторон прямоугольника. Длина стороны последнего квадрата будет равна НОД(324, 141).

Шаг 1. Изначально имеем прямоугольник размером $324 \times 141$ мм. Меньшая сторона равна 141 мм. Определим, сколько квадратов со стороной 141 мм можно отрезать от большей стороны: $324 \div 141 = 2$ (остаток $42$). Это значит, что мы отрезаем 2 квадрата размером $141 \times 141$ мм. После этого останется прямоугольник, одна сторона которого по-прежнему 141 мм, а другая равна остатку: $324 - 2 \times 141 = 42$ мм. Новый прямоугольник имеет размеры $141 \times 42$ мм.

Шаг 2. Теперь работаем с прямоугольником $141 \times 42$ мм. Меньшая сторона — 42 мм. Отрезаем квадраты с этой стороной: $141 \div 42 = 3$ (остаток $15$). Отрезаем 3 квадрата $42 \times 42$ мм. Остается прямоугольник размерами $42 \times 15$ мм (где $15 = 141 - 3 \times 42$).

Шаг 3. Прямоугольник $42 \times 15$ мм. Меньшая сторона — 15 мм. $42 \div 15 = 2$ (остаток $12$). Отрезаем 2 квадрата $15 \times 15$ мм. Остается прямоугольник размерами $15 \times 12$ мм (где $12 = 42 - 2 \times 15$).

Шаг 4. Прямоугольник $15 \times 12$ мм. Меньшая сторона — 12 мм. $15 \div 12 = 1$ (остаток $3$). Отрезаем 1 квадрат $12 \times 12$ мм. Остается прямоугольник размерами $12 \times 3$ мм (где $3 = 15 - 1 \times 12$).

Шаг 5. Прямоугольник $12 \times 3$ мм. Меньшая сторона — 3 мм. $12 \div 3 = 4$ (остаток $0$). Отрезаем 4 квадрата $3 \times 3$ мм. Остатка не остается, прямоугольник полностью покрыт квадратами. Процесс завершен.

Последние квадраты, которые были отрезаны, имели сторону 3 мм.

Ответ: 3 мм

48.13. Из 100 последовательных натуральных чисел выбрали 51 число.
Докажите, что среди выбранных чисел есть такие числа $a$ и $b$, что
НОД $(a; b) = 1$.

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле (также известным как принцип ящиков).

Рассмотрим 100 последовательных натуральных чисел. Мы можем разбить их на 50 пар последовательных чисел. Например, если числа начинаются с $k+1$, то пары будут выглядеть так:

$(k+1, k+2), (k+3, k+4), (k+5, k+6), \ldots, (k+99, k+100)$

Всего получается 50 таких пар, и они включают в себя все 100 чисел.

По условию, мы выбираем 51 число. Согласно принципу Дирихле, если у нас есть 51 предмет (выбранные числа), которые нужно разложить по 50 ящикам (пары последовательных чисел), то по крайней мере в одном ящике окажется как минимум два предмета.

Это означает, что среди 51 выбранного числа обязательно найдутся два числа, которые образуют пару последовательных чисел. Обозначим эти числа как $a$ и $b$. Пусть $b = a+1$.

Теперь нам нужно найти их наибольший общий делитель (НОД). Для любых двух последовательных натуральных чисел $a$ и $a+1$ их наибольший общий делитель всегда равен 1. Это можно доказать так: пусть $d$ — общий делитель $a$ и $a+1$. Тогда $a$ делится на $d$, и $a+1$ делится на $d$. Следовательно, их разность $(a+1) - a = 1$ также должна делиться на $d$. Единственное натуральное число, на которое делится 1, это 1. Значит, $d=1$.

Таким образом, $НОД(a; a+1) = 1$.

Мы доказали, что среди 51 выбранного числа всегда найдутся два числа, $a$ и $b$, которые являются последовательными, и для них выполняется условие $НОД(a; b) = 1$.

Ответ: Что и требовалось доказать. Среди 51 числа, выбранного из 100 последовательных, обязательно найдутся два взаимно простых числа.

48.14. Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 16 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.

Пусть $a$ и $b$ — искомые натуральные числа.

Обозначим их наибольший общий делитель (НОД) как $d = \text{НОД}(a, b)$, а их наименьшее общее кратное (НОК) как $m = \text{НОК}(a, b)$.

По условию задачи, наименьшее общее кратное в 16 раз больше наибольшего общего делителя, что можно записать в виде формулы:$m = 16d$.

Для любых двух натуральных чисел $a$ и $b$ справедливо фундаментальное свойство, связывающее их произведение с НОД и НОК:$a \cdot b = \text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b)$. Используя наши обозначения, получаем:$a \cdot b = d \cdot m$.

Подставим в это равенство условие $m = 16d$:$a \cdot b = d \cdot (16d)$,$a \cdot b = 16d^2$.

Любые два натуральных числа $a$ и $b$ можно представить через их НОД $d$ следующим образом:$a = d \cdot x$ и $b = d \cdot y$,где $x$ и $y$ — взаимно простые натуральные числа, то есть $\text{НОД}(x, y) = 1$.

Теперь подставим эти выражения для $a$ и $b$ в уравнение $a \cdot b = 16d^2$:$(d \cdot x) \cdot (d \cdot y) = 16d^2$,$d^2 \cdot x \cdot y = 16d^2$.

Поскольку $d$ является наибольшим общим делителем натуральных чисел, то $d \ge 1$, и, следовательно, $d^2 \ne 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $d^2$:$x \cdot y = 16$.

Итак, мы получили, что произведение двух взаимно простых натуральных чисел $x$ и $y$ равно 16. Рассмотрим все возможные пары натуральных множителей числа 16: $(1, 16)$, $(2, 8)$, $(4, 4)$. Проверим, какая из этих пар состоит из взаимно простых чисел.

Для пары $(1, 16)$ имеем $\text{НОД}(1, 16) = 1$. Эта пара удовлетворяет условию взаимной простоты.

Для пары $(2, 8)$ имеем $\text{НОД}(2, 8) = 2$. Эта пара не является взаимно простой.

Для пары $(4, 4)$ имеем $\text{НОД}(4, 4) = 4$. Эта пара не является взаимно простой.

Следовательно, единственная возможная пара $(x, y)$ (с точностью до порядка) — это $(1, 16)$. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: $x = 1$ и $y = 16$.
В этом случае: $a = d \cdot 1 = d$, а $b = d \cdot 16 = 16d$.
Тогда $b = 16a$, что означает, что число $b$ кратно числу $a$.

Случай 2: $x = 16$ и $y = 1$.
В этом случае: $a = d \cdot 16 = 16d$, а $b = d \cdot 1 = d$.
Тогда $a = 16b$, что означает, что число $a$ кратно числу $b$.

Таким образом, в любом возможном случае одно из чисел кратно другому, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

48.15. Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 27 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.

Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа. Обозначим их наибольший общий делитель как $d = \text{НОД}(a, b)$, а наименьшее общее кратное как $m = \text{НОК}(a, b)$.

По условию задачи, наименьшее общее кратное в 27 раз больше наибольшего общего делителя, то есть $m = 27d$.

Воспользуемся фундаментальным свойством, связывающим НОД и НОК двух чисел: $a \cdot b = d \cdot m$. Подставив в это равенство условие задачи, получим: $a \cdot b = d \cdot (27d) = 27d^2$.

Любые два натуральных числа $a$ и $b$ можно представить через их НОД $d$ как $a = d \cdot a'$ и $b = d \cdot b'$, где $a'$ и $b'$ — взаимно простые натуральные числа ($\text{НОД}(a', b') = 1$).

Подставим эти выражения в равенство $a \cdot b = 27d^2$:

$(d \cdot a') \cdot (d \cdot b') = 27d^2$

$d^2 \cdot a' \cdot b' = 27d^2$

Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, то $d \ge 1$, и мы можем разделить обе части уравнения на $d^2$:

$a' \cdot b' = 27$

Поскольку $a'$ и $b'$ являются взаимно простыми натуральными числами, нам нужно найти такие пары сомножителей числа 27. Пары натуральных чисел, произведение которых равно 27, это (1, 27) и (3, 9) (а также их перестановки). Проверим их на взаимную простоту:

1. Пара (1, 27): $\text{НОД}(1, 27) = 1$. Числа взаимно простые, эта пара подходит.

2. Пара (3, 9): $\text{НОД}(3, 9) = 3$. Числа не являются взаимно простыми, эта пара не подходит.

Таким образом, для пары $(a', b')$ возможны только два варианта: $(1, 27)$ или $(27, 1)$.

Рассмотрим оба случая:

– Если $a' = 1$ и $b' = 27$, то $a = d \cdot 1 = d$ и $b = d \cdot 27 = 27d$. Отсюда следует, что $b = 27a$, то есть число $b$ кратно числу $a$.

– Если $a' = 27$ и $b' = 1$, то $a = d \cdot 27 = 27d$ и $b = d \cdot 1 = d$. Отсюда следует, что $a = 27b$, то есть число $a$ кратно числу $b$.

В обоих возможных случаях одно из чисел кратно другому, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.