Страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.16. Решите в натуральных числах уравнение $x(y+1)^2 = 243y$.

Поскольку по условию $x$ и $y$ — натуральные числа ($x, y \in \mathbb{N}$), они должны быть положительными целыми числами.

Выразим $x$ через $y$ из данного уравнения: $x(y + 1)^2 = 243y$

$x = \frac{243y}{(y+1)^2}$

Так как $x$ должно быть натуральным числом, то значение дроби $\frac{243y}{(y+1)^2}$ должно быть целым числом.

Рассмотрим числа $y$ и $y+1$. Эти числа являются последовательными натуральными числами, а значит, они взаимно простые, то есть их наибольший общий делитель равен 1:

$\text{НОД}(y, y+1) = 1$

Если два числа взаимно просты, то любые их натуральные степени также взаимно просты. Следовательно, $y$ и $(y+1)^2$ тоже взаимно просты.

$\text{НОД}(y, (y+1)^2) = 1$

Поскольку $x = \frac{243y}{(y+1)^2}$ является целым числом, и $y$ не имеет общих делителей с $(y+1)^2$, то для сокращения дроби необходимо, чтобы $(y+1)^2$ являлось делителем числа 243.

Найдем разложение числа 243 на простые множители:

$243 = 3 \cdot 81 = 3 \cdot 3^4 = 3^5$

Теперь найдем все делители числа $3^5$, которые являются полными квадратами. Это числа вида $3^{2k}$, где $2k \le 5$.

Возможные значения для $(y+1)^2$:

1. $3^0 = 1$
2. $3^2 = 9$
3. $3^4 = 81$

Рассмотрим каждый случай для натурального $y$:

1. $(y+1)^2 = 1$.

$y+1 = 1$ (так как $y$ натуральное, $y+1$ положительно).

$y = 0$. Это число не является натуральным, поэтому данный случай не подходит.

2. $(y+1)^2 = 9$.

$y+1 = 3$.

$y = 2$. Это натуральное число. Найдем соответствующее значение $x$:

$x = \frac{243 \cdot 2}{(2+1)^2} = \frac{243 \cdot 2}{9} = 27 \cdot 2 = 54$.

Получили первую пару натуральных чисел $(54; 2)$.

3. $(y+1)^2 = 81$.

$y+1 = 9$.

$y = 8$. Это натуральное число. Найдем соответствующее значение $x$:

$x = \frac{243 \cdot 8}{(8+1)^2} = \frac{243 \cdot 8}{81} = 3 \cdot 8 = 24$.

Получили вторую пару натуральных чисел $(24; 8)$.

Других делителей числа 243, являющихся полными квадратами, нет. Таким образом, мы нашли все решения.

Ответ: $(54; 2)$, $(24; 8)$.

48.17. Найдите все пары натуральных чисел $m$ и $n$ таких, что $\text{НОК}(m; n) - \text{НОД}(m; n) = \frac{mn}{3}$.

Пусть $m$ и $n$ — искомые натуральные числа. Обозначим $d = \text{НОД}(m; n)$ и $L = \text{НОК}(m; n)$.

Известно, что для любых натуральных чисел $m$ и $n$ выполняется равенство:

$L \cdot d = mn$

Подставим это в данное по условию уравнение:

$L - d = \frac{mn}{3}$

$L - d = \frac{Ld}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$3(L - d) = Ld$

$3L - 3d = Ld$

Выразим $L$ через $d$:

$3L - Ld = 3d$

$L(3 - d) = 3d$

Поскольку $L$ (наименьшее общее кратное) и $d$ (наибольший общий делитель) являются натуральными числами, то $L > 0$ и $3d > 0$. Следовательно, множитель $(3 - d)$ также должен быть положительным, так как $L(3 - d)$ должно быть положительным.

$3 - d > 0$

$d < 3$

Так как $d$ — натуральное число, то возможными значениями для $d$ являются 1 и 2.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $d = 1$:

Подставляем $d=1$ в выражение для $L$:

$L(3 - 1) = 3 \cdot 1 \implies 2L = 3 \implies L = \frac{3}{2}$

Однако, НОК двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Так как $L = \frac{3}{2}$ не является целым числом, этот случай невозможен.

2. Если $d = 2$:

Подставляем $d=2$ в выражение для $L$:

$L(3 - 2) = 3 \cdot 2 \implies L \cdot 1 = 6 \implies L = 6$

Таким образом, мы ищем пары натуральных чисел $(m, n)$, для которых $\text{НОД}(m; n) = 2$ и $\text{НОК}(m; n) = 6$.

Представим числа $m$ и $n$ через их НОД: $m = da$ и $n = db$, где $a$ и $b$ — взаимно простые натуральные числа $(\text{НОД}(a; b) = 1)$.

В нашем случае $d=2$, значит $m = 2a$ и $n = 2b$.

Воспользуемся формулой $L = dab$:

$6 = 2 \cdot a \cdot b$

$ab = 3$

Нам нужно найти пары взаимно простых натуральных чисел $a$ и $b$, произведение которых равно 3. Так как 3 — простое число, существует только одна такая пара (без учёта порядка): 1 и 3.

• Если $a = 1$ и $b = 3$:
  $m = 2 \cdot 1 = 2$
  $n = 2 \cdot 3 = 6$
  Получаем пару (2; 6).
• Если $a = 3$ и $b = 1$:
  $m = 2 \cdot 3 = 6$
  $n = 2 \cdot 1 = 2$
  Получаем пару (6; 2).

Проверим найденные пары. Для пары (2; 6):

$\text{НОК}(2; 6) - \text{НОД}(2; 6) = 6 - 2 = 4$

$\frac{mn}{3} = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Равенство $4 = 4$ выполняется. Пара (6; 2) является симметричной и также удовлетворяет условию.

Ответ: (2; 6), (6; 2).

48.18. Три автомата печатают на карточках пары целых чисел. Каждый автомат, прочитав некоторую карточку, выдаёт новую карточку. Прочитав карточку с парой чисел $(m; n)$, первый автомат выдаёт карточку с числами $(m - n; n)$, второй — карточку с числами $(m + n; n)$, третий — карточку с числами $(n; m)$. Сначала есть карточка с парой чисел $(46; 51)$. Можно ли, используя автоматы в некотором порядке, получить карточку с парой чисел $(15; 33)$?

Для решения этой задачи необходимо найти свойство (инвариант), которое сохраняется при выполнении любой из трех операций, производимых автоматами. Проверим, как изменяется наибольший общий делитель (НОД) пары чисел $(m; n)$ после каждого преобразования.

Первый автомат заменяет пару $(m; n)$ на $(m - n; n)$. Согласно свойству наибольшего общего делителя (основанному на алгоритме Евклида), $НОД(m, n) = НОД(m - kn, n)$ для любого целого $k$. В данном случае $k=1$, поэтому $НОД(m, n) = НОД(m - n, n)$. Таким образом, НОД пары чисел при этой операции не меняется.

Второй автомат заменяет пару $(m; n)$ на $(m + n; n)$. Это соответствует свойству $НОД(m, n) = НОД(m - kn, n)$ при $k=-1$. Следовательно, $НОД(m, n) = НОД(m + n, n)$. НОД также сохраняется.

Третий автомат заменяет пару $(m; n)$ на $(n; m)$. По определению, $НОД(m, n) = НОД(n, m)$. НОД не меняется.

Мы установили, что наибольший общий делитель пары чисел является инвариантом для всех трех операций. Это означает, что любая карточка, полученная из начальной, будет иметь тот же НОД, что и начальная.

Теперь вычислим НОД для начальной и искомой пар чисел.

Начальная карточка: $(46; 51)$.
Разложим числа на простые множители:$46 = 2 \cdot 23$
$51 = 3 \cdot 17$
Общих множителей у чисел 46 и 51 нет, значит, они взаимно простые.$НОД(46, 51) = 1$.

Искомая карточка: $(15; 33)$.
Разложим числа на простые множители:$15 = 3 \cdot 5$
$33 = 3 \cdot 11$
Общий множитель равен 3.$НОД(15, 33) = 3$.

Поскольку НОД начальной пары $(1)$ не равен НОД искомой пары $(3)$, а НОД должен сохраняться при всех преобразованиях, получить карточку с парой чисел $(15; 33)$ из карточки $(46; 51)$ невозможно.

Ответ: нет, нельзя.