Номер 48.17, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.17. Найдите все пары натуральных чисел $m$ и $n$ таких, что $\text{НОК}(m; n) - \text{НОД}(m; n) = \frac{mn}{3}$.

Пусть $m$ и $n$ — искомые натуральные числа. Обозначим $d = \text{НОД}(m; n)$ и $L = \text{НОК}(m; n)$.

Известно, что для любых натуральных чисел $m$ и $n$ выполняется равенство:

$L \cdot d = mn$

Подставим это в данное по условию уравнение:

$L - d = \frac{mn}{3}$

$L - d = \frac{Ld}{3}$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$3(L - d) = Ld$

$3L - 3d = Ld$

Выразим $L$ через $d$:

$3L - Ld = 3d$

$L(3 - d) = 3d$

Поскольку $L$ (наименьшее общее кратное) и $d$ (наибольший общий делитель) являются натуральными числами, то $L > 0$ и $3d > 0$. Следовательно, множитель $(3 - d)$ также должен быть положительным, так как $L(3 - d)$ должно быть положительным.

$3 - d > 0$

$d < 3$

Так как $d$ — натуральное число, то возможными значениями для $d$ являются 1 и 2.

Рассмотрим оба случая:

1. Если $d = 1$:

Подставляем $d=1$ в выражение для $L$:

$L(3 - 1) = 3 \cdot 1 \implies 2L = 3 \implies L = \frac{3}{2}$

Однако, НОК двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Так как $L = \frac{3}{2}$ не является целым числом, этот случай невозможен.

2. Если $d = 2$:

Подставляем $d=2$ в выражение для $L$:

$L(3 - 2) = 3 \cdot 2 \implies L \cdot 1 = 6 \implies L = 6$

Таким образом, мы ищем пары натуральных чисел $(m, n)$, для которых $\text{НОД}(m; n) = 2$ и $\text{НОК}(m; n) = 6$.

Представим числа $m$ и $n$ через их НОД: $m = da$ и $n = db$, где $a$ и $b$ — взаимно простые натуральные числа $(\text{НОД}(a; b) = 1)$.

В нашем случае $d=2$, значит $m = 2a$ и $n = 2b$.

Воспользуемся формулой $L = dab$:

$6 = 2 \cdot a \cdot b$

$ab = 3$

Нам нужно найти пары взаимно простых натуральных чисел $a$ и $b$, произведение которых равно 3. Так как 3 — простое число, существует только одна такая пара (без учёта порядка): 1 и 3.

• Если $a = 1$ и $b = 3$:
  $m = 2 \cdot 1 = 2$
  $n = 2 \cdot 3 = 6$
  Получаем пару (2; 6).
• Если $a = 3$ и $b = 1$:
  $m = 2 \cdot 3 = 6$
  $n = 2 \cdot 1 = 2$
  Получаем пару (6; 2).

Проверим найденные пары. Для пары (2; 6):

$\text{НОК}(2; 6) - \text{НОД}(2; 6) = 6 - 2 = 4$

$\frac{mn}{3} = \frac{2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Равенство $4 = 4$ выполняется. Пара (6; 2) является симметричной и также удовлетворяет условию.

Ответ: (2; 6), (6; 2).