Номер 48.10, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.10. Докажите, что при любом $n \in \mathbb{Z}$ является целым числом значение выражения:

1) $\frac{n^3 + 5n}{6}$;

2) $\frac{n(n + 1)^2 (n + 2)}{12}$,

3) $\frac{(n^2 - 1)(n^2 + 2n)}{24}$.

1)

Чтобы доказать, что выражение $\frac{n^3+5n}{6}$ является целым числом, необходимо показать, что его числитель, $n^3+5n$, делится на 6 при любом целом $n$. Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Преобразуем выражение в числителе, выделив слагаемое, заведомо кратное 6:
$n^3+5n = n^3-n+6n = n(n^2-1)+6n = (n-1)n(n+1)+6n$.

Выражение $6n$ очевидно делится на 6 при любом $n \in Z$.

Рассмотрим выражение $(n-1)n(n+1)$. Это произведение трех последовательных целых чисел.

• Среди трех последовательных целых чисел всегда есть хотя бы одно четное число, поэтому их произведение делится на 2.
• Среди трех последовательных целых чисел всегда есть ровно одно число, кратное 3, поэтому их произведение делится на 3.

Поскольку произведение $(n-1)n(n+1)$ делится на 2 и на 3 (а числа 2 и 3 взаимно простые), оно делится на их произведение, то есть на 6.

Итак, $n^3+5n$ является суммой двух слагаемых, $(n-1)n(n+1)$ и $6n$, каждое из которых делится на 6. Следовательно, вся сумма $n^3+5n$ делится на 6.

Ответ: Поскольку числитель $n^3+5n$ всегда делится на 6, значение выражения $\frac{n^3+5n}{6}$ является целым числом при любом $n \in Z$.

2)

Необходимо доказать, что выражение $\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$ является целым числом. Для этого покажем, что числитель $A = n(n+1)^2(n+2)$ делится на 12. Число делится на 12, если оно одновременно делится на 3 и на 4 (так как НОД(3, 4) = 1).

Представим числитель в виде $A = [n(n+1)(n+2)] \cdot (n+1)$.

Делимость на 3:
Множитель $n(n+1)(n+2)$ является произведением трех последовательных целых чисел. Среди них всегда есть одно, кратное 3. Следовательно, все произведение $A$ делится на 3.

Делимость на 4:
Рассмотрим два возможных случая для $n$:

1. Если $n$ — четное число, то $n=2k$ для некоторого целого $k$. Тогда $n+2 = 2k+2 = 2(k+1)$. В этом случае произведение $A$ содержит множители $n$ и $n+2$, и их произведение $n(n+2) = 2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$. Значит, $A$ делится на 4.
2. Если $n$ — нечетное число, то $n+1$ — четное. Пусть $n+1=2k$ для некоторого целого $k$. Тогда множитель $(n+1)^2 = (2k)^2 = 4k^2$. Следовательно, $A$ делится на 4.

Поскольку выражение $A$ делится и на 3, и на 4, оно делится на их произведение, равное 12.

Ответ: Так как числитель $n(n+1)^2(n+2)$ всегда делится на 12, значение выражения $\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$ является целым числом при любом $n \in Z$.

3)

Докажем, что выражение $\frac{(n^2-1)(n^2+2n)}{24}$ является целым числом. Для этого нужно показать, что числитель $C = (n^2-1)(n^2+2n)$ делится на 24. Число делится на 24, если оно делится на 3 и на 8 (так как НОД(3, 8) = 1).

Разложим числитель на множители:
$C = (n^2-1)(n^2+2n) = (n-1)(n+1) \cdot n(n+2)$.
Переставив множители, получим произведение четырех последовательных целых чисел:
$C = (n-1)n(n+1)(n+2)$.

Делимость на 3:
Среди четырех последовательных целых чисел обязательно есть хотя бы одно, которое делится на 3. Следовательно, их произведение $C$ делится на 3.

Делимость на 8:
Среди четырех последовательных целых чисел есть ровно два четных числа. Эти четные числа являются последовательными, например $m$ и $m+2$. Одно из них делится на 2, а другое — на 4. Действительно, пусть четные числа это $2k$ и $2k+2=2(k+1)$. Их произведение равно $2k \cdot 2(k+1) = 4k(k+1)$. Так как $k$ и $k+1$ — последовательные целые числа, одно из них четное, поэтому их произведение $k(k+1)$ делится на 2. Таким образом, произведение двух четных чисел из нашей последовательности делится на $4 \cdot 2 = 8$. Следовательно, все произведение $C$ делится на 8.

Поскольку выражение $C$ делится и на 3, и на 8, оно делится на их произведение, равное 24.

Ответ: Так как числитель $(n^2-1)(n^2+2n)$ всегда делится на 24, значение выражения $\frac{(n^2-1)(n^2+2n)}{24}$ является целым числом при любом $n \in Z$.