Номер 48.6, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.6. Докажите, что при любом $n \in \mathbb{N}$ является несократимой дробь:

1) $\frac{4n + 3}{20n + 23}$;

2) $\frac{12n + 1}{30n + 2}$.

1) Чтобы доказать, что дробь $ \frac{4n+3}{20n+23} $ является несократимой при любом натуральном $n$, нужно показать, что наибольший общий делитель (НОД) ее числителя и знаменателя равен 1.

Пусть $d = \text{НОД}(4n+3, 20n+23)$. По определению НОД, $d$ является делителем как числителя, так и знаменателя. Это означает, что $ (4n+3) $ делится на $d$ и $ (20n+23) $ делится на $d$.

Если два числа делятся на $d$, то и их любая линейная комбинация также делится на $d$. Воспользуемся этим свойством, чтобы избавиться от переменной $n$. Умножим первое выражение на 5:

$5 \cdot (4n+3) = 20n+15$.

Поскольку $ (4n+3) $ делится на $d$, то и $ (20n+15) $ делится на $d$. Также мы знаем, что $ (20n+23) $ делится на $d$. Следовательно, их разность тоже должна делиться на $d$:

$(20n+23) - (20n+15) = 20n+23-20n-15 = 8$.

Это означает, что $d$ является делителем числа 8. Натуральные делители числа 8: 1, 2, 4, 8. Таким образом, $d$ может быть одним из этих чисел.

Теперь проанализируем выражение в числителе: $4n+3$. Для любого натурального $n \in N$, число $4n$ является четным. Сумма четного числа ($4n$) и нечетного числа (3) всегда является нечетным числом.

Так как $4n+3$ — нечетное число, оно не может иметь четных делителей (2, 4, 8). Следовательно, из всех возможных значений для общего делителя $d$ подходит только 1.

Таким образом, $ \text{НОД}(4n+3, 20n+23) = 1 $, что доказывает, что дробь несократима при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

2) Аналогично докажем, что дробь $ \frac{12n+1}{30n+2} $ является несократимой, показав, что $ \text{НОД}(12n+1, 30n+2) = 1 $ для любого натурального $n$.

Пусть $d = \text{НОД}(12n+1, 30n+2)$. Тогда $ (12n+1) $ делится на $d$ и $ (30n+2) $ делится на $d$.

Чтобы исключить переменную $n$, найдем подходящую линейную комбинацию. Наименьшее общее кратное коэффициентов при $n$ (12 и 30) равно 60. Умножим первое выражение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $n$ стали равными:

$5 \cdot (12n+1) = 60n+5$

$2 \cdot (30n+2) = 60n+4$

Оба полученных выражения, $60n+5$ и $60n+4$, должны делиться на $d$. Следовательно, их разность также делится на $d$:

$(60n+5) - (60n+4) = 60n+5-60n-4 = 1$.

Поскольку их разность равна 1, их общий делитель $d$ должен быть делителем числа 1. Единственным натуральным делителем числа 1 является само число 1.

Таким образом, $d = \text{НОД}(12n+1, 30n+2) = 1$, что и требовалось доказать. Дробь является несократимой.

Ответ: Доказано.