gdz.top
Номер 48.11, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 48. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа - номер 48.11, страница 374.
№48.10
№48.11 (с. 374)
Условие. №48.11 (с. 374)
48.11. Найдите хотя бы одну пару целых чисел, являющуюся решением уравнения $73x - 13y = 1$.
Решение. №48.11 (с. 374)
Для нахождения целочисленного решения уравнения $73x - 13y = 1$ воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида. Это линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$, где $a=73$, $b=-13$, $c=1$. Решение существует, так как наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$ равен 1 (числа 73 и 13 простые), и 1 делится на 1.
Сначала применим алгоритм Евклида для нахождения НОД(73, 13):
- $73 = 5 \cdot 13 + 8$
- $13 = 1 \cdot 8 + 5$
- $8 = 1 \cdot 5 + 3$
- $5 = 1 \cdot 3 + 2$
- $3 = 1 \cdot 2 + 1$
НОД(73, 13) = 1. Теперь, используя эти равенства в обратном порядке, выразим 1 через 73 и 13.
Из последнего равенства имеем:
$1 = 3 - 1 \cdot 2$
Подставим выражение для 2 из предпоследнего равенства ($2 = 5 - 1 \cdot 3$):
$1 = 3 - 1 \cdot (5 - 1 \cdot 3) = 3 - 5 + 3 = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5$
Подставим выражение для 3 ($3 = 8 - 1 \cdot 5$):
$1 = 2 \cdot (8 - 1 \cdot 5) - 1 \cdot 5 = 2 \cdot 8 - 2 \cdot 5 - 1 \cdot 5 = 2 \cdot 8 - 3 \cdot 5$
Подставим выражение для 5 ($5 = 13 - 1 \cdot 8$):
$1 = 2 \cdot 8 - 3 \cdot (13 - 1 \cdot 8) = 2 \cdot 8 - 3 \cdot 13 + 3 \cdot 8 = 5 \cdot 8 - 3 \cdot 13$
Наконец, подставим выражение для 8 ($8 = 73 - 5 \cdot 13$):
$1 = 5 \cdot (73 - 5 \cdot 13) - 3 \cdot 13 = 5 \cdot 73 - 25 \cdot 13 - 3 \cdot 13 = 5 \cdot 73 - 28 \cdot 13$
Таким образом, мы получили равенство $73 \cdot 5 - 13 \cdot 28 = 1$.
Сравнивая это равенство с исходным уравнением $73x - 13y = 1$, мы находим одно из частных решений: $x=5$ и $y=28$.
Проверим найденное решение, подставив значения в уравнение:
$73 \cdot 5 - 13 \cdot 28 = 365 - 364 = 1$.
$1 = 1$.
Равенство выполняется, следовательно, пара чисел (5; 28) является решением уравнения.
Ответ: (5; 28).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 48.11 расположенного на странице 374 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №48.11 (с. 374), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.