Номер 48.15, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

48.15. Наименьшее общее кратное некоторых двух натуральных чисел в 27 раз больше их наибольшего общего делителя. Докажите, что одно из этих чисел кратно другому.

Пусть $a$ и $b$ — два натуральных числа. Обозначим их наибольший общий делитель как $d = \text{НОД}(a, b)$, а наименьшее общее кратное как $m = \text{НОК}(a, b)$.

По условию задачи, наименьшее общее кратное в 27 раз больше наибольшего общего делителя, то есть $m = 27d$.

Воспользуемся фундаментальным свойством, связывающим НОД и НОК двух чисел: $a \cdot b = d \cdot m$. Подставив в это равенство условие задачи, получим: $a \cdot b = d \cdot (27d) = 27d^2$.

Любые два натуральных числа $a$ и $b$ можно представить через их НОД $d$ как $a = d \cdot a'$ и $b = d \cdot b'$, где $a'$ и $b'$ — взаимно простые натуральные числа ($\text{НОД}(a', b') = 1$).

Подставим эти выражения в равенство $a \cdot b = 27d^2$:

$(d \cdot a') \cdot (d \cdot b') = 27d^2$

$d^2 \cdot a' \cdot b' = 27d^2$

Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, то $d \ge 1$, и мы можем разделить обе части уравнения на $d^2$:

$a' \cdot b' = 27$

Поскольку $a'$ и $b'$ являются взаимно простыми натуральными числами, нам нужно найти такие пары сомножителей числа 27. Пары натуральных чисел, произведение которых равно 27, это (1, 27) и (3, 9) (а также их перестановки). Проверим их на взаимную простоту:

1. Пара (1, 27): $\text{НОД}(1, 27) = 1$. Числа взаимно простые, эта пара подходит.

2. Пара (3, 9): $\text{НОД}(3, 9) = 3$. Числа не являются взаимно простыми, эта пара не подходит.

Таким образом, для пары $(a', b')$ возможны только два варианта: $(1, 27)$ или $(27, 1)$.

Рассмотрим оба случая:

– Если $a' = 1$ и $b' = 27$, то $a = d \cdot 1 = d$ и $b = d \cdot 27 = 27d$. Отсюда следует, что $b = 27a$, то есть число $b$ кратно числу $a$.

– Если $a' = 27$ и $b' = 1$, то $a = d \cdot 27 = 27d$ и $b = d \cdot 1 = d$. Отсюда следует, что $a = 27b$, то есть число $a$ кратно числу $b$.

В обоих возможных случаях одно из чисел кратно другому, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.