Номер 49.3, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

49.3. Докажите, что остаток при делении простого числа на 30 равен 1 или простому числу.

Пусть $p$ — простое число. Согласно теореме о делении с остатком, любое простое число $p$ можно представить в виде $p = 30k + r$, где $k$ — целое неотрицательное число, а $r$ — остаток, удовлетворяющий условию $0 \le r < 30$. Нам нужно доказать, что $r$ равен 1 или является простым числом.

Рассмотрим два случая.

1. Если $p$ — это одно из простых чисел, являющихся делителями числа 30.

Разложение числа 30 на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Простыми делителями являются числа 2, 3 и 5.

• При делении $p=2$ на 30 получаем: $2 = 30 \cdot 0 + 2$. Остаток $r=2$. Число 2 — простое.
• При делении $p=3$ на 30 получаем: $3 = 30 \cdot 0 + 3$. Остаток $r=3$. Число 3 — простое.
• При делении $p=5$ на 30 получаем: $5 = 30 \cdot 0 + 5$. Остаток $r=5$. Число 5 — простое.

В этих случаях утверждение верно.

2. Если $p$ — простое число, большее 5 (то есть $p > 5$).

Такое число не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Рассмотрим равенство $r = p - 30k$.

• Число $30k$ делится на 2. Поскольку $p$ — простое и $p > 2$, оно нечётное (не делится на 2). Разность числа, не делящегося на 2, и числа, делящегося на 2, не делится на 2. Следовательно, остаток $r$ не делится на 2.
• Число $30k$ делится на 3. Поскольку $p$ — простое и $p > 3$, оно не делится на 3. Разность числа, не делящегося на 3, и числа, делящегося на 3, не делится на 3. Следовательно, остаток $r$ не делится на 3.
• Число $30k$ делится на 5. Поскольку $p$ — простое и $p > 5$, оно не делится на 5. Разность числа, не делящегося на 5, и числа, делящегося на 5, не делится на 5. Следовательно, остаток $r$ не делится на 5.

Таким образом, остаток $r$ должен быть целым числом в диапазоне $0 \le r < 30$, которое не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Это означает, что $r$ и 30 должны быть взаимно простыми числами.

Выпишем все такие числа в указанном диапазоне: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Теперь проверим каждое из этих возможных значений остатка:

• 1 — удовлетворяет условию (равен 1).
• 7 — простое число.
• 11 — простое число.
• 13 — простое число.
• 17 — простое число.
• 19 — простое число.
• 23 — простое число.
• 29 — простое число.

Все возможные остатки в этом случае являются либо 1, либо простыми числами.

Объединяя результаты обоих случаев, мы заключаем, что остаток от деления любого простого числа на 30 равен 1 или простому числу.

Ответ: Утверждение доказано.