gdz.top
Номер 49.5, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 49. Простые и составные числа - номер 49.5, страница 382.
№49.4
№49.5 (с. 382)
Условие. №49.5 (с. 382)
49.5. Докажите, что если $p$ — простое число и $p > 3$, то $(p^2 - 1) \vdots 24$.
Решение. №49.5 (с. 382)
Чтобы доказать, что выражение $(p^2 - 1)$ делится на 24, нам нужно показать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \times 8$, а числа 3 и 8 являются взаимно простыми.
Доказательство делимости на 3
Разложим выражение на множители по формуле разности квадратов: $p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$.
Числа $(p - 1)$, $p$ и $(p + 1)$ являются тремя последовательными целыми числами. Среди любых трех последовательных целых чисел одно обязательно делится на 3.
Согласно условию, $p$ — простое число и $p > 3$, следовательно, $p$ не делится на 3.
Значит, на 3 делится либо $(p - 1)$, либо $(p + 1)$. В любом случае, их произведение $(p - 1)(p + 1)$ делится на 3. Таким образом, доказано, что $(p^2 - 1)$ кратно 3.
Доказательство делимости на 8
Поскольку $p$ — простое число больше 3, оно является нечетным. Следовательно, $(p - 1)$ и $(p + 1)$ — это два последовательных четных числа.
Среди двух последовательных четных чисел одно обязательно делится на 4. Докажем это: пусть $(p-1)$ — первое четное число. Если $(p-1)$ делится на 4, то утверждение верно. Если $(p-1)$ не делится на 4, то оно имеет вид $4k+2$ для некоторого целого $k$. Тогда следующее четное число $(p+1)$ будет равно $(4k+2) + 2 = 4k+4 = 4(k+1)$, что очевидно делится на 4.
Таким образом, в произведении $(p - 1)(p + 1)$ один из множителей делится на 2 (так как оба четные), а другой — на 4. Следовательно, их произведение делится на $2 \times 4 = 8$. Таким образом, доказано, что $(p^2 - 1)$ кратно 8.
Заключение
Мы доказали, что $(p^2 - 1)$ делится одновременно на 3 и на 8. Так как числа 3 и 8 взаимно простые, то $(p^2 - 1)$ делится и на их произведение, то есть на $3 \times 8 = 24$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 49.5 расположенного на странице 382 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49.5 (с. 382), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.