Номер 49.6, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

49.6. Простые числа $p$ и $q$ таковы, что $p > 3$ и $q > 3$. Докажите, что $(p^2 - q^2) : 24$.

Для того чтобы доказать, что выражение $(p^2 - q^2)$ делится на 24 (обозначается как $(p^2 - q^2) \vdots 24$), необходимо доказать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку числа 3 и 8 являются взаимно простыми, а их произведение равно $3 \cdot 8 = 24$.

Докажем сначала, что $(p^2 - q^2)$ делится на 3.

По условию, $p$ и $q$ — простые числа, большие 3. Это означает, что ни $p$, ни $q$ не делятся на 3. Любое целое число, которое не делится на 3, при делении на 3 даёт в остатке 1 или 2. Следовательно, любое простое число $n > 3$ можно представить в виде $n = 3k \pm 1$ для некоторого натурального числа $k$.

Рассмотрим квадрат такого числа:

$n^2 = (3k \pm 1)^2 = (3k)^2 \pm 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 \pm 6k + 1 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1$.

Это выражение показывает, что квадрат любого простого числа, большего 3, при делении на 3 даёт в остатке 1. Таким образом, мы имеем:

$p^2 \equiv 1 \pmod{3}$

$q^2 \equiv 1 \pmod{3}$

Теперь рассмотрим разность их квадратов:

$p^2 - q^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{3}$.

Это означает, что $(p^2 - q^2)$ делится на 3.

Теперь докажем, что $(p^2 - q^2)$ делится на 8.

Так как $p$ и $q$ — простые числа, большие 3, они оба являются нечётными числами (единственное чётное простое число — это 2). Любое нечётное число $n$ можно представить в виде $n = 2k + 1$ для некоторого целого числа $k$.

Возведём нечётное число в квадрат:

$n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k+1) + 1$.

Выражение $k(k+1)$ представляет собой произведение двух последовательных целых чисел. Одно из этих чисел обязательно является чётным, поэтому их произведение всегда делится на 2. Пусть $k(k+1) = 2m$ для некоторого целого числа $m$.

Подставим это в выражение для $n^2$:

$n^2 = 4(2m) + 1 = 8m + 1$.

Это означает, что квадрат любого нечётного числа при делении на 8 даёт в остатке 1. Поскольку $p$ и $q$ — нечётные числа, то:

$p^2 \equiv 1 \pmod{8}$

$q^2 \equiv 1 \pmod{8}$

Рассмотрим разность их квадратов:

$p^2 - q^2 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{8}$.

Это означает, что $(p^2 - q^2)$ делится на 8.

Итак, мы доказали, что $(p^2 - q^2)$ делится на 3 и на 8. Поскольку 3 и 8 — взаимно простые числа, то $(p^2 - q^2)$ должно делиться на их произведение, то есть на 24. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.