gdz.top
Номер 49.13, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 49. Простые и составные числа - номер 49.13, страница 382.
№49.12
№49.13 (с. 382)
Условие. №49.13 (с. 382)
49.13. Найдите все простые числа $p$ и $q$, удовлетворяющие уравнению
$p^2 - 2q^2 = 1.$
Решение. №49.13 (с. 382)
Дано уравнение $p^2 - 2q^2 = 1$, где $p$ и $q$ — простые числа.
Перепишем уравнение в виде $p^2 - 1 = 2q^2$.
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов:
$(p - 1)(p + 1) = 2q^2$.
Рассмотрим возможные значения для простого числа $p$.
Случай 1: $p = 2$.
Подставим $p = 2$ в уравнение: $2^2 - 2q^2 = 1$, что дает $4 - 2q^2 = 1$. Отсюда $2q^2 = 3$, и $q^2 = 3/2$. Это уравнение не имеет целочисленных решений для $q$, следовательно, $p$ не может быть равно 2.
Случай 2: $p$ — нечетное простое число.
Так как $p$ — простое число и $p \ne 2$, то $p$ должно быть нечетным, а значит $p \ge 3$.
Если $p$ — нечетное число, то $p-1$ и $p+1$ — два последовательных четных числа.
Так как $p-1$ и $p+1$ — последовательные четные числа, одно из них делится на 2, а другое — на 4. Следовательно, их произведение $(p-1)(p+1)$ делится на $2 \times 4 = 8$.
Из уравнения $(p - 1)(p + 1) = 2q^2$ следует, что $2q^2$ должно быть кратно 8. Это означает, что $q^2$ должно быть кратно 4, а значит, $q$ должно быть четным числом.
Единственное простое четное число — это 2. Таким образом, $q = 2$.
Теперь подставим значение $q = 2$ в исходное уравнение, чтобы найти $p$:
$p^2 - 2(2^2) = 1$
$p^2 - 2 \cdot 4 = 1$
$p^2 - 8 = 1$
$p^2 = 9$
Отсюда $p = 3$ или $p = -3$. Так как $p$ — простое число, оно должно быть положительным, поэтому $p = 3$.
Проверим найденную пару чисел. $p=3$ и $q=2$ оба являются простыми числами.
Подставим их в исходное уравнение: $3^2 - 2(2^2) = 9 - 8 = 1$. Равенство верно.
Таким образом, единственная пара простых чисел, удовлетворяющая уравнению, это $p=3$ и $q=2$.
Ответ: $p=3, q=2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 49.13 расположенного на странице 382 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49.13 (с. 382), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.