Номер 49.12, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

49.12. Числа $p$ и $p^2+2$ — простые. Докажите, что число $p^3+2$ также простое.

По условию, $p$ и $p^2 + 2$ — простые числа. Необходимо доказать, что число $p^3 + 2$ также является простым.

Рассмотрим различные случаи для простого числа $p$.

1. Пусть $p = 2$. Это единственное четное простое число.
Проверим число $p^2 + 2$:
$2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$.
Число 6 является составным (делится на 2 и 3), что противоречит условию задачи. Значит, $p \ne 2$.

2. Пусть $p = 3$.
Проверим число $p^2 + 2$:
$3^2 + 2 = 9 + 2 = 11$.
Число 11 является простым. Оба числа, $p=3$ и $p^2+2=11$, — простые, что удовлетворяет условию задачи.

3. Пусть $p$ — простое число, большее 3.
Любое простое число $p > 3$ не делится на 3. Следовательно, при делении на 3 оно дает в остатке либо 1, либо 2.

• Если $p$ при делении на 3 дает в остатке 1 (т.е. $p \equiv 1 \pmod{3}$), то его можно записать в виде $p = 3k+1$ для некоторого натурального $k$.
  Тогда $p^2 + 2 = (3k+1)^2 + 2 = (9k^2 + 6k + 1) + 2 = 9k^2 + 6k + 3 = 3(3k^2 + 2k + 1)$.
  Так как $k \ge 1$, то $3k^2 + 2k + 1 > 1$. Значит, число $p^2 + 2$ имеет делитель 3 (и само оно больше 3), следовательно, оно составное. Это противоречит условию.
• Если $p$ при делении на 3 дает в остатке 2 (т.е. $p \equiv 2 \pmod{3}$), то его можно записать в виде $p = 3k+2$ для некоторого натурального $k$.
  Тогда $p^2 + 2 = (3k+2)^2 + 2 = (9k^2 + 12k + 4) + 2 = 9k^2 + 12k + 6 = 3(3k^2 + 4k + 2)$.
  Так как $k \ge 1$, то $3k^2 + 4k + 2 > 1$. Значит, число $p^2 + 2$ также имеет делитель 3 (и само оно больше 3), следовательно, оно составное. Это тоже противоречит условию.

Из всех рассмотренных случаев следует, что единственным простым числом $p$, удовлетворяющим условию, что $p^2 + 2$ также простое, является $p=3$.

Теперь найдем значение выражения $p^3 + 2$ для $p=3$:
$p^3 + 2 = 3^3 + 2 = 27 + 2 = 29$.
Число 29 является простым. Таким образом, мы доказали, что если $p$ и $p^2 + 2$ — простые, то и $p^3 + 2$ — простое.

Ответ: Утверждение доказано.