gdz.top
Номер 49.19, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 49. Простые и составные числа - номер 49.19, страница 383.
№49.18
№49.19 (с. 383)
Условие. №49.19 (с. 383)
49.19. Докажите, что при любом натуральном $a$ значение выражения $a^{14} + 13a^2$ кратно 7.
Решение. №49.19 (с. 383)
Для доказательства того, что значение выражения $a^{14} + 13a^2$ кратно 7 при любом натуральном $a$, мы используем теорию сравнений и малую теорему Ферма.
Требуется доказать, что $a^{14} + 13a^2 \equiv 0 \pmod{7}$.
Сначала преобразуем выражение, используя свойства сравнений по модулю. Заметим, что коэффициент 13 при делении на 7 даёт в остатке 6. Это можно записать как $13 \equiv 6 \pmod{7}$. Также удобно представить это как $13 \equiv -1 \pmod{7}$, поскольку $13 = 2 \cdot 7 - 1$.
Подставим $13 \equiv -1 \pmod{7}$ в исходное выражение:
$a^{14} + 13a^2 \equiv a^{14} + (-1) \cdot a^2 \equiv a^{14} - a^2 \pmod{7}$.
Теперь задача сводится к доказательству того, что $a^{14} - a^2$ кратно 7.
Согласно малой теореме Ферма, для любого простого числа $p$ и любого целого числа $a$ выполняется сравнение $a^p \equiv a \pmod{p}$.
В нашем случае $p=7$, что является простым числом. Следовательно, для любого натурального $a$ справедливо:
$a^7 \equiv a \pmod{7}$.
Используем это свойство для преобразования $a^{14}$:
$a^{14} = (a^7)^2$.
Так как $a^7 \equiv a \pmod{7}$, то, возведя обе части сравнения в квадрат, получим:
$(a^7)^2 \equiv a^2 \pmod{7}$,
откуда следует, что $a^{14} \equiv a^2 \pmod{7}$.
Подставим этот результат в наше преобразованное выражение:
$a^{14} - a^2 \equiv a^2 - a^2 \equiv 0 \pmod{7}$.
Таким образом, мы показали, что $a^{14} + 13a^2$ сравнимо с нулём по модулю 7. Это означает, что выражение $a^{14} + 13a^2$ делится на 7 без остатка при любом натуральном $a$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что при любом натуральном $a$ значение выражения $a^{14} + 13a^2$ кратно 7.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 49.19 расположенного на странице 383 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49.19 (с. 383), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.