gdz.top
Номер 49.23, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 49. Простые и составные числа - номер 49.23, страница 383.
№49.22
№49.23 (с. 383)
Условие. №49.23 (с. 383)
49.23. Натуральное число $a$ не делится нацело на 29. Докажите, что одно из чисел, $a^{14} - 1$ или $a^{14} + 1$, делится нацело на 29.
Решение. №49.23 (с. 383)
Поскольку 29 — это простое число, а натуральное число $a$ по условию не делится на 29, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма.
Малая теорема Ферма гласит, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.
В нашем случае $p = 29$. Применим теорему:
$a^{29-1} \equiv 1 \pmod{29}$
$a^{28} \equiv 1 \pmod{29}$
Представим степень 28 как $2 \cdot 14$:
$(a^{14})^2 \equiv 1 \pmod{29}$
Перенесем единицу в левую часть сравнения:
$(a^{14})^2 - 1 \equiv 0 \pmod{29}$
Теперь разложим левую часть по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$(a^{14} - 1)(a^{14} + 1) \equiv 0 \pmod{29}$
Это означает, что произведение $(a^{14} - 1)(a^{14} + 1)$ делится нацело на 29. Поскольку 29 — простое число, то если произведение двух чисел делится на 29, то хотя бы одно из этих чисел должно делиться на 29.
Следовательно, либо $(a^{14} - 1)$ делится на 29, либо $(a^{14} + 1)$ делится на 29, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано с помощью малой теоремы Ферма.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 49.23 расположенного на странице 383 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49.23 (с. 383), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.