Номер 50.3, страница 393 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

50.3. Разделив «уголком» многочлен $A(x)$ на многочлен $B(x)$, найдите неполное частное и остаток:

1) $A(x) = x^4 + x + 1, B(x) = x^2 + x + 1;$

2) $A(x) = x^4 + x^2 + 1, B(x) = x + 5.$

1) $A(x) = x^4 + x + 1$, $B(x) = x^2 + x + 1$

Выполним деление многочлена $A(x)$ на многочлен $B(x)$ «уголком». Для удобства запишем многочлен $A(x)$ в стандартном виде, добавив члены с нулевыми коэффициентами: $A(x) = x^4 + 0x^3 + 0x^2 + x + 1$.

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^4$) на старший член делителя ($x^2$). Получаем первый член неполного частного: $x^4 / x^2 = x^2$.
Умножаем делитель $B(x)$ на $x^2$: $x^2 \cdot (x^2 + x + 1) = x^4 + x^3 + x^2$.
Вычитаем полученный многочлен из делимого $A(x)$: $(x^4 + 0x^3 + 0x^2 + x + 1) - (x^4 + x^3 + x^2) = -x^3 - x^2 + x + 1$.

Шаг 2: Делим старший член нового остатка ($-x^3$) на старший член делителя ($x^2$). Получаем второй член неполного частного: $-x^3 / x^2 = -x$.
Умножаем делитель $B(x)$ на $-x$: $-x \cdot (x^2 + x + 1) = -x^3 - x^2 - x$.
Вычитаем полученный многочлен из текущего остатка: $(-x^3 - x^2 + x + 1) - (-x^3 - x^2 - x) = 2x + 1$.

Степень полученного многочлена $2x + 1$ (степень 1) меньше степени делителя $x^2 + x + 1$ (степень 2), поэтому деление завершено.

Таким образом, неполное частное $Q(x) = x^2 - x$, а остаток $R(x) = 2x + 1$.

Ответ: неполное частное $x^2 - x$, остаток $2x + 1$.

2) $A(x) = x^4 + x^2 + 1$, $B(x) = x + 5$

Выполним деление многочлена $A(x)$ на многочлен $B(x)$ «уголком». Запишем многочлен $A(x)$ в стандартном виде, добавив члены с нулевыми коэффициентами: $A(x) = x^4 + 0x^3 + x^2 + 0x + 1$.

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^4$) на старший член делителя ($x$). Получаем первый член неполного частного: $x^3$.
Умножаем $x+5$ на $x^3$: $x^3(x+5) = x^4 + 5x^3$.
Вычитаем из $A(x)$: $(x^4 + 0x^3 + x^2 + 0x + 1) - (x^4 + 5x^3) = -5x^3 + x^2 + 0x + 1$.

Шаг 2: Делим старший член нового остатка ($-5x^3$) на $x$. Получаем второй член неполного частного: $-5x^2$.
Умножаем $x+5$ на $-5x^2$: $-5x^2(x+5) = -5x^3 - 25x^2$.
Вычитаем: $(-5x^3 + x^2 + 0x + 1) - (-5x^3 - 25x^2) = 26x^2 + 0x + 1$.

Шаг 3: Делим старший член нового остатка ($26x^2$) на $x$. Получаем третий член неполного частного: $26x$.
Умножаем $x+5$ на $26x$: $26x(x+5) = 26x^2 + 130x$.
Вычитаем: $(26x^2 + 0x + 1) - (26x^2 + 130x) = -130x + 1$.

Шаг 4: Делим старший член нового остатка ($-130x$) на $x$. Получаем четвертый член неполного частного: $-130$.
Умножаем $x+5$ на $-130$: $-130(x+5) = -130x - 650$.
Вычитаем: $(-130x + 1) - (-130x - 650) = 651$.

Степень остатка 651 (степень 0) меньше степени делителя $x+5$ (степень 1), поэтому деление завершено.

Таким образом, неполное частное $Q(x) = x^3 - 5x^2 + 26x - 130$, а остаток $R(x) = 651$.

Ответ: неполное частное $x^3 - 5x^2 + 26x - 130$, остаток $651$.