gdz.top
Номер 50.9, страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 50. Деление многочленов. Теорема Безу - номер 50.9, страница 394.
№50.8
№50.9 (с. 394)
Условие. №50.9 (с. 394)
50.9. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x^2 + x - 1)^{2n} + (x^2 - x + 1)^{2n} - 2$, где $n \in N$, делится нацело на многочлен $x^2 - x$.
Решение. №50.9 (с. 394)
Для того чтобы доказать, что многочлен $P(x) = (x^2 + x - 1)^{2n} + (x^2 - x + 1)^{2n} - 2$ делится нацело на многочлен $Q(x) = x^2 - x$, необходимо и достаточно доказать, что $P(x)$ обращается в ноль при всех корнях многочлена $Q(x)$.
Найдем корни многочлена-делителя $Q(x) = x^2 - x$.
Приравниваем его к нулю:
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Теперь проверим значение многочлена $P(x)$ в этих точках.
1. Проверка для корня x = 0
Подставим $x = 0$ в выражение для $P(x)$:
$P(0) = (0^2 + 0 - 1)^{2n} + (0^2 - 0 + 1)^{2n} - 2 = (-1)^{2n} + (1)^{2n} - 2$.
Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in N$), то $2n$ — это всегда четное число. Любое число в четной степени неотрицательно. В частности, $(-1)$ в любой четной степени равно 1.
Таким образом, $(-1)^{2n} = 1$ и $(1)^{2n} = 1$.
Следовательно, $P(0) = 1 + 1 - 2 = 0$.
Так как $P(0) = 0$, многочлен $P(x)$ делится на $(x - 0)$, то есть на $x$.
2. Проверка для корня x = 1
Подставим $x = 1$ в выражение для $P(x)$:
$P(1) = (1^2 + 1 - 1)^{2n} + (1^2 - 1 + 1)^{2n} - 2 = (1)^{2n} + (1)^{2n} - 2$.
$P(1) = 1 + 1 - 2 = 0$.
Так как $P(1) = 0$, многочлен $P(x)$ делится на $(x - 1)$.
Поскольку многочлен $P(x)$ делится нацело и на $x$, и на $(x - 1)$, а эти два множителя являются взаимно простыми, то $P(x)$ должен делиться и на их произведение, то есть на $x(x - 1) = x^2 - x$.
Таким образом, мы доказали, что многочлен $(x^2 + x - 1)^{2n} + (x^2 - x + 1)^{2n} - 2$ делится нацело на многочлен $x^2 - x$ при любом натуральном $n$.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 50.9 расположенного на странице 394 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №50.9 (с. 394), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.