Номер 50.14, страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

50.14. Докажите, что выражение $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ делится на-цело на выражение $(a-b)(b-c)(c-a)$.

Для того чтобы доказать, что выражение $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ делится нацело на выражение $(a-b)(b-c)(c-a)$, необходимо показать, что первое выражение можно представить в виде произведения второго выражения на некоторый многочлен. Для этого разложим первое выражение на множители.

Обозначим $P(a, b, c) = a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$. Раскроем скобки:$P(a, b, c) = a^3b - a^3c + b^3c - ab^3 + c^3a - c^3b$.

Сгруппируем слагаемые относительно переменной $a$:$P(a, b, c) = a^3(b-c) - a(b^3-c^3) + (b^3c - bc^3)$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Используем формулу разности кубов $b^3 - c^3 = (b-c)(b^2+bc+c^2)$ и разности квадратов $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$:$P(a, b, c) = a^3(b-c) - a(b-c)(b^2+bc+c^2) + bc(b^2-c^2)$$P(a, b, c) = a^3(b-c) - a(b-c)(b^2+bc+c^2) + bc(b-c)(b+c)$.

Теперь можно вынести общий множитель $(b-c)$ за скобки:$P(a, b, c) = (b-c)[a^3 - a(b^2+bc+c^2) + bc(b+c)]$.

Раскроем скобки внутри квадратных скобок и преобразуем полученное выражение:$a^3 - ab^2 - abc - ac^2 + b^2c + bc^2$. Сгруппируем слагаемые этого выражения, чтобы выделить множитель $(a-c)$:$(a^3 - ac^2) - (ab^2 - b^2c) - (abc - bc^2)$$= a(a^2-c^2) - b^2(a-c) - bc(a-c)$$= a(a-c)(a+c) - b^2(a-c) - bc(a-c)$.

Вынесем общий множитель $(a-c)$ за скобки:$= (a-c)[a(a+c) - b^2 - bc]$$= (a-c)[a^2 + ac - b^2 - bc]$.

Теперь сгруппируем слагаемые в последней скобке, чтобы выделить множитель $(a-b)$:$a^2 - b^2 + ac - bc = (a^2 - b^2) + (ac - bc)$$= (a-b)(a+b) + c(a-b)$$= (a-b)(a+b+c)$.

Таким образом, мы полностью разложили исходное выражение на множители:$P(a, b, c) = (b-c)(a-c)(a-b)(a+b+c)$.

Переставим множители для удобства и изменим знак у множителя $(a-c)$ на $(c-a)$, вынеся минус вперёд:$P(a, b, c) = (a-b)(b-c)(-(c-a))(a+b+c)$$P(a, b, c) = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$.

Теперь мы можем выполнить деление:$\frac{a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = -(a+b+c)$.

Результатом деления является многочлен $-(a+b+c)$. Это доказывает, что исходное выражение делится нацело на $(a-b)(b-c)(c-a)$.

Ответ: Доказано, что выражение $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ делится нацело на выражение $(a-b)(b-c)(c-a)$. Частное от деления равно $-(a+b+c)$.