Номер 50.15, страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

50.15. Докажите, что выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ делится нацело на выражение $x + y + z$.

Чтобы доказать, что выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ делится нацело на выражение $x + y + z$, разложим исходное выражение на множители. Цель — показать, что одним из множителей является $(x + y + z)$.

Для преобразования воспользуемся формулой суммы кубов, представленной в виде $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$. Применим её к первым двум слагаемым $x^3 + y^3$:

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = ((x+y)^3 - 3xy(x+y)) + z^3 - 3xyz$

Теперь сгруппируем слагаемые с кубами и преобразуем оставшуюся часть:

$((x+y)^3 + z^3) - 3xy(x+y) - 3xyz$

К выражению $((x+y)^3 + z^3)$ применим стандартную формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, считая, что $a = x+y$ и $b = z$:

$(x+y+z)((x+y)^2 - z(x+y) + z^2) - 3xy(x+y) - 3xyz$

В оставшейся части $-3xy(x+y) - 3xyz$ вынесем за скобки общий множитель $-3xy$:

$-3xy(x+y) - 3xyz = -3xy(x+y+z)$

Подставим это обратно в общее выражение:

$(x+y+z)((x+y)^2 - z(x+y) + z^2) - 3xy(x+y+z)$

Теперь мы видим, что $(x+y+z)$ является общим множителем для обоих слагаемых. Вынесем его за скобки:

$(x+y+z) \cdot [((x+y)^2 - z(x+y) + z^2) - 3xy]$

Упростим выражение во вторых скобках, раскрыв их и приведя подобные слагаемые:

$((x+y)^2 - z(x+y) + z^2) - 3xy = (x^2 + 2xy + y^2) - (xz + yz) + z^2 - 3xy$

$= x^2 + 2xy + y^2 - xz - yz + z^2 - 3xy$

$= x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz$

Таким образом, мы получили окончательное разложение на множители:

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz)$

Поскольку исходное выражение представлено в виде произведения, где одним из множителей является $(x+y+z)$, это доказывает, что выражение $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ делится на $x+y+z$ нацело.

Ответ: Доказательство основано на разложении выражения $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ на множители $(x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz)$, что прямо показывает его делимость на $(x+y+z)$.