Номер 50.8, страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

50.8. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению $(x+1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1$, где $n \in \mathbb{N}$, делится нацело на многочлен, тождественно равный выражению $x(x+1)(2x+1)$.

Обозначим многочлен $P(x) = (x+1)^{2n} - x^{2n} - 2x - 1$ и многочлен $Q(x) = x(x+1)(2x+1)$.

Чтобы доказать, что многочлен $P(x)$ делится нацело на многочлен $Q(x)$, достаточно показать, что все корни многочлена $Q(x)$ являются также и корнями многочлена $P(x)$. Это следует из следствия теоремы Безу, так как все корни $Q(x)$ различны.

Найдем корни многочлена $Q(x)$, решив уравнение $Q(x) = 0$:

$x(x+1)(2x+1) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 0$, $x_2 = -1$ и $x_3 = -1/2$.

Теперь проверим, являются ли эти значения корнями многочлена $P(x)$, то есть, выполняется ли равенство $P(x)=0$ при подстановке этих значений.

1. Проверим корень $x = 0$:
$P(0) = (0+1)^{2n} - 0^{2n} - 2(0) - 1 = 1^{2n} - 0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0$.
Так как $P(0) = 0$, то $x=0$ является корнем многочлена $P(x)$, и, следовательно, $P(x)$ делится на $x$.

2. Проверим корень $x = -1$:
$P(-1) = (-1+1)^{2n} - (-1)^{2n} - 2(-1) - 1 = 0^{2n} - 1 + 2 - 1$.
Поскольку $n \in \mathbb{N}$, то $2n$ — четное натуральное число ($2n \geq 2$), поэтому $(-1)^{2n} = 1$ и $0^{2n}=0$.
$P(-1) = 0 - 1 + 2 - 1 = 0$.
Так как $P(-1) = 0$, то $x=-1$ является корнем многочлена $P(x)$, и, следовательно, $P(x)$ делится на $(x+1)$.

3. Проверим корень $x = -1/2$:
$P(-1/2) = (-1/2 + 1)^{2n} - (-1/2)^{2n} - 2(-1/2) - 1 = (1/2)^{2n} - (-1/2)^{2n} + 1 - 1$.
Так как степень $2n$ четная, то $(-1/2)^{2n} = (1/2)^{2n}$.
$P(-1/2) = (1/2)^{2n} - (1/2)^{2n} + 1 - 1 = 0$.
Так как $P(-1/2) = 0$, то $x=-1/2$ является корнем многочлена $P(x)$, и, следовательно, $P(x)$ делится на $(x+1/2)$, а значит и на $(2x+1)$.

Поскольку многочлен $P(x)$ имеет корни $0$, $-1$ и $-1/2$, он делится на каждый из линейных множителей $x$, $(x+1)$ и $(2x+1)$. Так как эти множители взаимно просты (не имеют общих корней), то многочлен $P(x)$ делится и на их произведение, то есть на $x(x+1)(2x+1)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.