gdz.top
Номер 50.7, страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 50. Деление многочленов. Теорема Безу - номер 50.7, страница 394.
№50.6
№50.7 (с. 394)
Условие. №50.7 (с. 394)
50.7. Докажите, что $(x^n - a^n) : (x^k - a^k)$, если $n:k$, $n \in N$, $k \in N$.
Решение. №50.7 (с. 394)
Требуется доказать, что многочлен $(x^n - a^n)$ делится на многочлен $(x^k - a^k)$ при условии, что натуральное число $n$ делится на натуральное число $k$.
Условие, что $n$ делится на $k$ (обозначается как $n:k$), означает, что существует такое натуральное число $m$, что $n = k \cdot m$.
Преобразуем выражение $x^n - a^n$, используя замену $n = km$: $$x^n - a^n = x^{km} - a^{km}$$
Используя свойство степени, перепишем выражение: $$x^{km} - a^{km} = (x^k)^m - (a^k)^m$$
Для любого натурального $m$ справедлива формула разложения разности $m$-ых степеней: $$y^m - z^m = (y-z)(y^{m-1} + y^{m-2}z + y^{m-3}z^2 + \dots + yz^{m-2} + z^{m-1})$$
Применим эту формулу к нашему выражению, сделав подстановку $y = x^k$ и $z = a^k$: $$(x^k)^m - (a^k)^m = (x^k - a^k) \cdot \left((x^k)^{m-1} + (x^k)^{m-2}(a^k) + \dots + (a^k)^{m-1}\right)$$
Таким образом, мы получили, что: $$x^n - a^n = (x^k - a^k) \cdot \left(x^{k(m-1)} + x^{k(m-2)}a^k + \dots + a^{k(m-1)}\right)$$
Это равенство показывает, что многочлен $x^n - a^n$ можно представить в виде произведения многочлена $x^k - a^k$ и другого многочлена, а именно $x^{k(m-1)} + x^{k(m-2)}a^k + \dots + a^{k(m-1)}$. Это по определению означает, что $x^n - a^n$ делится на $x^k - a^k$ нацело.
Ответ: Доказано. Так как $n:k$, то $n=km$ для некоторого $m \in \mathbb{N}$. Тогда $x^n-a^n = (x^k)^m-(a^k)^m$. Это выражение раскладывается на множители по формуле разности $m$-х степеней, одним из которых является $(x^k-a^k)$, что доказывает делимость.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 50.7 расположенного на странице 394 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №50.7 (с. 394), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.