Вопросы?, страница 393 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. В каком случае говорят, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$?

2. Каково необходимое условие деления нацело одного многочлена на другой?

3. Сформулируйте теорему о делении многочленов с остатком.

4. Что называют корнем многочлена?

5. Сформулируйте теорему Безу.

6. Сформулируйте необходимое и достаточное условие, при котором число $\alpha$ является корнем многочлена $A(x)$.

1. В каком случае говорят, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$?

Говорят, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$ (причем $B(x)$ не является нулевым многочленом), если существует такой многочлен $Q(x)$, что выполняется равенство:
$A(x) = B(x) \cdot Q(x)$
В этом случае многочлен $Q(x)$ называют частным, а остаток от деления равен нулю.
Ответ: Многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$, если существует многочлен $Q(x)$ такой, что $A(x) = B(x) \cdot Q(x)$.

2. Каково необходимое условие деления нацело одного многочлена на другой?

Необходимым (но не достаточным) условием для того, чтобы многочлен $A(x)$ делился нацело на ненулевой многочлен $B(x)$, является то, что степень многочлена $A(x)$ должна быть не меньше степени многочлена $B(x)$.
Записывается это так: $\deg(A) \ge \deg(B)$.
Если степень делимого меньше степени делителя, то деление нацело невозможно (кроме случая, когда делимое является нулевым многочленом).
Ответ: Степень делимого многочлена должна быть больше или равна степени делителя.

3. Сформулируйте теорему о делении многочленов с остатком.

Для любых двух многочленов $A(x)$ (делимое) и $B(x)$ (делитель), где $B(x)$ не является нулевым многочленом, существует единственная пара многочленов $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) такая, что выполняется равенство:
$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$
причем степень многочлена-остатка $R(x)$ строго меньше степени многочлена-делителя $B(x)$, либо $R(x)$ является нулевым многочленом.
Ответ: Для любых многочленов $A(x)$ и $B(x) \ne 0$ существуют единственные многочлены $Q(x)$ и $R(x)$ такие, что $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$, при этом степень $R(x)$ меньше степени $B(x)$ или $R(x) = 0$.

4. Что называют корнем многочлена?

Корнем многочлена $A(x)$ называют такое число $\alpha$, при подстановке которого в многочлен вместо переменной $x$ значение многочлена обращается в ноль.
То есть, $\alpha$ является корнем многочлена $A(x)$, если выполняется равенство $A(\alpha) = 0$.
Ответ: Корнем многочлена $A(x)$ называют число $\alpha$, для которого $A(\alpha) = 0$.

5. Сформулируйте теорему Безу.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена $A(x)$ на линейный двучлен $(x - \alpha)$ равен значению этого многочлена в точке $\alpha$, то есть $A(\alpha)$.
Если $A(x) = (x - \alpha) \cdot Q(x) + R$, где $R$ — число (так как его степень должна быть меньше степени $(x-\alpha)$, равной 1), то $A(\alpha) = (\alpha - \alpha) \cdot Q(\alpha) + R = 0 \cdot Q(\alpha) + R = R$.
Ответ: Остаток от деления многочлена $A(x)$ на двучлен $(x - \alpha)$ равен $A(\alpha)$.

6. Сформулируйте необходимое и достаточное условие, при котором число $\alpha$ является корнем многочлена $A(x)$.

Число $\alpha$ является корнем многочлена $A(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $A(x)$ делится нацело (без остатка) на двучлен $(x - \alpha)$.
Это утверждение является прямым следствием теоремы Безу:

• Необходимость: если $\alpha$ — корень, то $A(\alpha) = 0$. По теореме Безу, остаток от деления $A(x)$ на $(x - \alpha)$ равен $A(\alpha)$, то есть 0. Значит, $A(x)$ делится нацело.
• Достаточность: если $A(x)$ делится нацело на $(x - \alpha)$, то остаток от деления равен 0. По теореме Безу, этот остаток равен $A(\alpha)$. Следовательно, $A(\alpha)=0$, и $\alpha$ является корнем.

Ответ: Число $\alpha$ является корнем многочлена $A(x)$ тогда и только тогда, когда $A(x)$ делится нацело на $(x - \alpha)$.