Страница 393 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. В каком случае говорят, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$?

2. Каково необходимое условие деления нацело одного многочлена на другой?

3. Сформулируйте теорему о делении многочленов с остатком.

4. Что называют корнем многочлена?

5. Сформулируйте теорему Безу.

6. Сформулируйте необходимое и достаточное условие, при котором число $\alpha$ является корнем многочлена $A(x)$.

1. В каком случае говорят, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$?

Говорят, что многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$ (причем $B(x)$ не является нулевым многочленом), если существует такой многочлен $Q(x)$, что выполняется равенство:
$A(x) = B(x) \cdot Q(x)$
В этом случае многочлен $Q(x)$ называют частным, а остаток от деления равен нулю.
Ответ: Многочлен $A(x)$ делится нацело на многочлен $B(x)$, если существует многочлен $Q(x)$ такой, что $A(x) = B(x) \cdot Q(x)$.

2. Каково необходимое условие деления нацело одного многочлена на другой?

Необходимым (но не достаточным) условием для того, чтобы многочлен $A(x)$ делился нацело на ненулевой многочлен $B(x)$, является то, что степень многочлена $A(x)$ должна быть не меньше степени многочлена $B(x)$.
Записывается это так: $\deg(A) \ge \deg(B)$.
Если степень делимого меньше степени делителя, то деление нацело невозможно (кроме случая, когда делимое является нулевым многочленом).
Ответ: Степень делимого многочлена должна быть больше или равна степени делителя.

3. Сформулируйте теорему о делении многочленов с остатком.

Для любых двух многочленов $A(x)$ (делимое) и $B(x)$ (делитель), где $B(x)$ не является нулевым многочленом, существует единственная пара многочленов $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток) такая, что выполняется равенство:
$A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$
причем степень многочлена-остатка $R(x)$ строго меньше степени многочлена-делителя $B(x)$, либо $R(x)$ является нулевым многочленом.
Ответ: Для любых многочленов $A(x)$ и $B(x) \ne 0$ существуют единственные многочлены $Q(x)$ и $R(x)$ такие, что $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$, при этом степень $R(x)$ меньше степени $B(x)$ или $R(x) = 0$.

4. Что называют корнем многочлена?

Корнем многочлена $A(x)$ называют такое число $\alpha$, при подстановке которого в многочлен вместо переменной $x$ значение многочлена обращается в ноль.
То есть, $\alpha$ является корнем многочлена $A(x)$, если выполняется равенство $A(\alpha) = 0$.
Ответ: Корнем многочлена $A(x)$ называют число $\alpha$, для которого $A(\alpha) = 0$.

5. Сформулируйте теорему Безу.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена $A(x)$ на линейный двучлен $(x - \alpha)$ равен значению этого многочлена в точке $\alpha$, то есть $A(\alpha)$.
Если $A(x) = (x - \alpha) \cdot Q(x) + R$, где $R$ — число (так как его степень должна быть меньше степени $(x-\alpha)$, равной 1), то $A(\alpha) = (\alpha - \alpha) \cdot Q(\alpha) + R = 0 \cdot Q(\alpha) + R = R$.
Ответ: Остаток от деления многочлена $A(x)$ на двучлен $(x - \alpha)$ равен $A(\alpha)$.

6. Сформулируйте необходимое и достаточное условие, при котором число $\alpha$ является корнем многочлена $A(x)$.

Число $\alpha$ является корнем многочлена $A(x)$ тогда и только тогда, когда многочлен $A(x)$ делится нацело (без остатка) на двучлен $(x - \alpha)$.
Это утверждение является прямым следствием теоремы Безу:

• Необходимость: если $\alpha$ — корень, то $A(\alpha) = 0$. По теореме Безу, остаток от деления $A(x)$ на $(x - \alpha)$ равен $A(\alpha)$, то есть 0. Значит, $A(x)$ делится нацело.
• Достаточность: если $A(x)$ делится нацело на $(x - \alpha)$, то остаток от деления равен 0. По теореме Безу, этот остаток равен $A(\alpha)$. Следовательно, $A(\alpha)=0$, и $\alpha$ является корнем.

Ответ: Число $\alpha$ является корнем многочлена $A(x)$ тогда и только тогда, когда $A(x)$ делится нацело на $(x - \alpha)$.

50.1. Докажите, что многочлен $x^4 - 1$ делится нацело на многочлен $x^3 + x^2 + x + 1$.

50.1. Чтобы доказать, что многочлен $x^4 - 1$ делится нацело на многочлен $x^3 + x^2 + x + 1$, мы разложим оба многочлена на множители и покажем, что второй является множителем первого.

1. Разложим на множители делимое $x^4 - 1$. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ дважды, получаем:
$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

2. Разложим на множители делитель $x^3 + x^2 + x + 1$. Используем метод группировки:
$x^3 + x^2 + x + 1 = (x^3 + x^2) + (x + 1) = x^2(x + 1) + 1(x + 1) = (x + 1)(x^2 + 1)$

3. Теперь сопоставим полученные разложения. Мы можем переписать разложение для $x^4 - 1$, сгруппировав в нем множители делителя:
$x^4 - 1 = (x - 1) \cdot [(x + 1)(x^2 + 1)]$
Выражение в квадратных скобках в точности равно делителю $x^3 + x^2 + x + 1$. Таким образом, мы можем записать тождество:
$x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)$

Это равенство показывает, что многочлен $x^4 - 1$ является произведением многочлена $x^3 + x^2 + x + 1$ и многочлена $(x-1)$. Следовательно, $x^4 - 1$ делится на $x^3 + x^2 + x + 1$ нацело. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано. Частное от деления равно $x-1$.

50.2. Докажите, что многочлен $A(x) = 2x^4 - x^3 + 2x^2 + 1$ делится нацело на многочлен $B(x) = x^2 - x + 1$.

Для того чтобы доказать, что многочлен $A(x) = 2x^4 - x^3 + 2x^2 + 1$ делится нацело на многочлен $B(x) = x^2 - x + 1$, мы преобразуем многочлен $A(x)$ таким образом, чтобы выделить $B(x)$ в качестве множителя.

1. Начнем с исходного многочлена $A(x)$:
$A(x) = 2x^4 - x^3 + 2x^2 + 1$

2. Перегруппируем слагаемые. Для того чтобы выделить выражение, кратное $x^2-x+1$, представим $-x^3$ как $-2x^3 + x^3$.
$A(x) = 2x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x^3 + 1$

3. В первых трех слагаемых вынесем за скобку общий множитель $2x^2$.
$A(x) = 2x^2(x^2 - x + 1) + (x^3 + 1)$
Первое слагаемое $2x^2(x^2 - x + 1)$ очевидно делится на $x^2 - x + 1$.

4. Теперь рассмотрим второе слагаемое, $(x^3 + 1)$. Это известная формула суммы кубов, которую можно разложить на множители: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Применив эту формулу, получаем:
$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$
Как мы видим, выражение $(x^3+1)$ также делится на $(x^2 - x + 1)$.

5. Подставим полученное разложение обратно в выражение для $A(x)$:
$A(x) = 2x^2(x^2 - x + 1) + (x+1)(x^2 - x + 1)$

6. Теперь у нас есть сумма двух слагаемых, каждое из которых содержит множитель $(x^2 - x + 1)$. Мы можем вынести этот общий множитель за скобки:
$A(x) = (x^2 - x + 1)(2x^2 + (x+1))$
$A(x) = (x^2 - x + 1)(2x^2 + x + 1)$

Таким образом, мы представили многочлен $A(x)$ в виде произведения многочлена $B(x) = x^2 - x + 1$ и многочлена $C(x) = 2x^2 + x + 1$. Это доказывает, что $A(x)$ делится на $B(x)$ без остатка.

Ответ: Утверждение доказано, так как многочлен $A(x)$ можно представить в виде произведения $A(x) = (x^2 - x + 1)(2x^2 + x + 1)$, что означает его делимость нацело на $B(x) = x^2 - x + 1$.

50.3. Разделив «уголком» многочлен $A(x)$ на многочлен $B(x)$, найдите неполное частное и остаток:

1) $A(x) = x^4 + x + 1, B(x) = x^2 + x + 1;$

2) $A(x) = x^4 + x^2 + 1, B(x) = x + 5.$

1) $A(x) = x^4 + x + 1$, $B(x) = x^2 + x + 1$

Выполним деление многочлена $A(x)$ на многочлен $B(x)$ «уголком». Для удобства запишем многочлен $A(x)$ в стандартном виде, добавив члены с нулевыми коэффициентами: $A(x) = x^4 + 0x^3 + 0x^2 + x + 1$.

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^4$) на старший член делителя ($x^2$). Получаем первый член неполного частного: $x^4 / x^2 = x^2$.
Умножаем делитель $B(x)$ на $x^2$: $x^2 \cdot (x^2 + x + 1) = x^4 + x^3 + x^2$.
Вычитаем полученный многочлен из делимого $A(x)$: $(x^4 + 0x^3 + 0x^2 + x + 1) - (x^4 + x^3 + x^2) = -x^3 - x^2 + x + 1$.

Шаг 2: Делим старший член нового остатка ($-x^3$) на старший член делителя ($x^2$). Получаем второй член неполного частного: $-x^3 / x^2 = -x$.
Умножаем делитель $B(x)$ на $-x$: $-x \cdot (x^2 + x + 1) = -x^3 - x^2 - x$.
Вычитаем полученный многочлен из текущего остатка: $(-x^3 - x^2 + x + 1) - (-x^3 - x^2 - x) = 2x + 1$.

Степень полученного многочлена $2x + 1$ (степень 1) меньше степени делителя $x^2 + x + 1$ (степень 2), поэтому деление завершено.

Таким образом, неполное частное $Q(x) = x^2 - x$, а остаток $R(x) = 2x + 1$.

Ответ: неполное частное $x^2 - x$, остаток $2x + 1$.

2) $A(x) = x^4 + x^2 + 1$, $B(x) = x + 5$

Выполним деление многочлена $A(x)$ на многочлен $B(x)$ «уголком». Запишем многочлен $A(x)$ в стандартном виде, добавив члены с нулевыми коэффициентами: $A(x) = x^4 + 0x^3 + x^2 + 0x + 1$.

Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^4$) на старший член делителя ($x$). Получаем первый член неполного частного: $x^3$.
Умножаем $x+5$ на $x^3$: $x^3(x+5) = x^4 + 5x^3$.
Вычитаем из $A(x)$: $(x^4 + 0x^3 + x^2 + 0x + 1) - (x^4 + 5x^3) = -5x^3 + x^2 + 0x + 1$.

Шаг 2: Делим старший член нового остатка ($-5x^3$) на $x$. Получаем второй член неполного частного: $-5x^2$.
Умножаем $x+5$ на $-5x^2$: $-5x^2(x+5) = -5x^3 - 25x^2$.
Вычитаем: $(-5x^3 + x^2 + 0x + 1) - (-5x^3 - 25x^2) = 26x^2 + 0x + 1$.

Шаг 3: Делим старший член нового остатка ($26x^2$) на $x$. Получаем третий член неполного частного: $26x$.
Умножаем $x+5$ на $26x$: $26x(x+5) = 26x^2 + 130x$.
Вычитаем: $(26x^2 + 0x + 1) - (26x^2 + 130x) = -130x + 1$.

Шаг 4: Делим старший член нового остатка ($-130x$) на $x$. Получаем четвертый член неполного частного: $-130$.
Умножаем $x+5$ на $-130$: $-130(x+5) = -130x - 650$.
Вычитаем: $(-130x + 1) - (-130x - 650) = 651$.

Степень остатка 651 (степень 0) меньше степени делителя $x+5$ (степень 1), поэтому деление завершено.

Таким образом, неполное частное $Q(x) = x^3 - 5x^2 + 26x - 130$, а остаток $R(x) = 651$.

Ответ: неполное частное $x^3 - 5x^2 + 26x - 130$, остаток $651$.

50.4. Разделив «уголком» многочлен $A(x)$ на многочлен $B(x)$, найдите неполное частное и остаток:

1) $A(x) = x^7 - 1, B(x) = x^3 + x + 1;$

2) $A(x) = x^3 + 5x^2 - 6x - 6, B(x) = x - 2.$

1) $A(x) = x^7 - 1$, $B(x) = x^3 + x + 1$
Выполним деление многочлена $A(x)$ на многочлен $B(x)$ «уголком». Для удобства в делимом $A(x)$ запишем все отсутствующие степени переменной $x$ с нулевыми коэффициентами: $A(x) = x^7 + 0x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 1$.
Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^7$) на старший член делителя ($x^3$), получаем $x^4$. Это первый член частного. Умножаем $x^4$ на делитель $B(x)$: $x^4(x^3 + x + 1) = x^7 + x^5 + x^4$. Вычитаем полученный многочлен из делимого:
$(x^7 + 0x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 1) - (x^7 + x^5 + x^4) = -x^5 - x^4 - 1$.
Шаг 2: Делим старший член полученного многочлена ($-x^5$) на старший член делителя ($x^3$), получаем $-x^2$. Это второй член частного. Умножаем $-x^2$ на $B(x)$: $-x^2(x^3 + x + 1) = -x^5 - x^3 - x^2$. Вычитаем из предыдущего остатка:
$(-x^5 - x^4 - 1) - (-x^5 - x^3 - x^2) = -x^4 + x^3 + x^2 - 1$.
Шаг 3: Делим старший член нового остатка ($-x^4$) на $x^3$, получаем $-x$. Это третий член частного. Умножаем $-x$ на $B(x)$: $-x(x^3 + x + 1) = -x^4 - x^2 - x$. Вычитаем:
$(-x^4 + x^3 + x^2 - 1) - (-x^4 - x^2 - x) = x^3 + 2x^2 + x - 1$.
Шаг 4: Делим старший член нового остатка ($x^3$) на $x^3$, получаем $1$. Это четвертый член частного. Умножаем $1$ на $B(x)$: $1(x^3 + x + 1) = x^3 + x + 1$. Вычитаем:
$(x^3 + 2x^2 + x - 1) - (x^3 + x + 1) = 2x^2 - 2$.
Степень полученного многочлена $2x^2 - 2$ (равна 2) меньше степени делителя $x^3 + x + 1$ (равна 3), поэтому деление завершено.
Таким образом, неполное частное (результат деления) — это $x^4 - x^2 - x + 1$, а остаток — $2x^2 - 2$.
Ответ: неполное частное $x^4 - x^2 - x + 1$, остаток $2x^2 - 2$.

2) $A(x) = x^3 + 5x^2 - 6x - 6$, $B(x) = x - 2$
Выполним деление многочлена $A(x)$ на многочлен $B(x)$ «уголком».
Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x$), получаем $x^2$. Это первый член частного. Умножаем $x^2$ на делитель $B(x)$: $x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2$. Вычитаем полученный многочлен из делимого:
$(x^3 + 5x^2 - 6x - 6) - (x^3 - 2x^2) = 7x^2 - 6x - 6$.
Шаг 2: Делим старший член нового делимого ($7x^2$) на $x$, получаем $7x$. Это второй член частного. Умножаем $7x$ на $B(x)$: $7x(x - 2) = 7x^2 - 14x$. Вычитаем из предыдущего остатка:
$(7x^2 - 6x - 6) - (7x^2 - 14x) = 8x - 6$.
Шаг 3: Делим старший член нового остатка ($8x$) на $x$, получаем $8$. Это третий член частного. Умножаем $8$ на $B(x)$: $8(x - 2) = 8x - 16$. Вычитаем:
$(8x - 6) - (8x - 16) = 10$.
Степень остатка $10$ (равна 0) меньше степени делителя $x-2$ (равна 1), поэтому деление завершено.
Таким образом, неполное частное — это $x^2 + 7x + 8$, а остаток — $10$.
Ответ: неполное частное $x^2 + 7x + 8$, остаток $10$.