Номер 50.4, страница 393 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

50.4. Разделив «уголком» многочлен $A(x)$ на многочлен $B(x)$, найдите неполное частное и остаток:

1) $A(x) = x^7 - 1, B(x) = x^3 + x + 1;$

2) $A(x) = x^3 + 5x^2 - 6x - 6, B(x) = x - 2.$

1) $A(x) = x^7 - 1$, $B(x) = x^3 + x + 1$
Выполним деление многочлена $A(x)$ на многочлен $B(x)$ «уголком». Для удобства в делимом $A(x)$ запишем все отсутствующие степени переменной $x$ с нулевыми коэффициентами: $A(x) = x^7 + 0x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 1$.
Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^7$) на старший член делителя ($x^3$), получаем $x^4$. Это первый член частного. Умножаем $x^4$ на делитель $B(x)$: $x^4(x^3 + x + 1) = x^7 + x^5 + x^4$. Вычитаем полученный многочлен из делимого:
$(x^7 + 0x^6 + 0x^5 + 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 1) - (x^7 + x^5 + x^4) = -x^5 - x^4 - 1$.
Шаг 2: Делим старший член полученного многочлена ($-x^5$) на старший член делителя ($x^3$), получаем $-x^2$. Это второй член частного. Умножаем $-x^2$ на $B(x)$: $-x^2(x^3 + x + 1) = -x^5 - x^3 - x^2$. Вычитаем из предыдущего остатка:
$(-x^5 - x^4 - 1) - (-x^5 - x^3 - x^2) = -x^4 + x^3 + x^2 - 1$.
Шаг 3: Делим старший член нового остатка ($-x^4$) на $x^3$, получаем $-x$. Это третий член частного. Умножаем $-x$ на $B(x)$: $-x(x^3 + x + 1) = -x^4 - x^2 - x$. Вычитаем:
$(-x^4 + x^3 + x^2 - 1) - (-x^4 - x^2 - x) = x^3 + 2x^2 + x - 1$.
Шаг 4: Делим старший член нового остатка ($x^3$) на $x^3$, получаем $1$. Это четвертый член частного. Умножаем $1$ на $B(x)$: $1(x^3 + x + 1) = x^3 + x + 1$. Вычитаем:
$(x^3 + 2x^2 + x - 1) - (x^3 + x + 1) = 2x^2 - 2$.
Степень полученного многочлена $2x^2 - 2$ (равна 2) меньше степени делителя $x^3 + x + 1$ (равна 3), поэтому деление завершено.
Таким образом, неполное частное (результат деления) — это $x^4 - x^2 - x + 1$, а остаток — $2x^2 - 2$.
Ответ: неполное частное $x^4 - x^2 - x + 1$, остаток $2x^2 - 2$.

2) $A(x) = x^3 + 5x^2 - 6x - 6$, $B(x) = x - 2$
Выполним деление многочлена $A(x)$ на многочлен $B(x)$ «уголком».
Шаг 1: Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x$), получаем $x^2$. Это первый член частного. Умножаем $x^2$ на делитель $B(x)$: $x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2$. Вычитаем полученный многочлен из делимого:
$(x^3 + 5x^2 - 6x - 6) - (x^3 - 2x^2) = 7x^2 - 6x - 6$.
Шаг 2: Делим старший член нового делимого ($7x^2$) на $x$, получаем $7x$. Это второй член частного. Умножаем $7x$ на $B(x)$: $7x(x - 2) = 7x^2 - 14x$. Вычитаем из предыдущего остатка:
$(7x^2 - 6x - 6) - (7x^2 - 14x) = 8x - 6$.
Шаг 3: Делим старший член нового остатка ($8x$) на $x$, получаем $8$. Это третий член частного. Умножаем $8$ на $B(x)$: $8(x - 2) = 8x - 16$. Вычитаем:
$(8x - 6) - (8x - 16) = 10$.
Степень остатка $10$ (равна 0) меньше степени делителя $x-2$ (равна 1), поэтому деление завершено.
Таким образом, неполное частное — это $x^2 + 7x + 8$, а остаток — $10$.
Ответ: неполное частное $x^2 + 7x + 8$, остаток $10$.