Номер 49.24, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

49.24. Найдите все простые $p$ такие, что число $p^2 + 11$ имеет 6 различных натуральных делителей.

Пусть $N = p^2 + 11$. По условию, $p$ — простое число, а число $N$ имеет 6 различных натуральных делителей.

Количество натуральных делителей числа $\tau(N)$, разложение которого на простые множители имеет вид $q_1^{a_1} q_2^{a_2} \cdots q_k^{a_k}$, вычисляется по формуле $\tau(N) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$.

Поскольку $\tau(N) = 6$, а число 6 можно представить в виде произведения натуральных чисел (больших 1) двумя способами: $6$ и $2 \cdot 3$. Это означает, что разложение числа $N$ на простые множители может иметь один из двух видов:
1) $N = q^5$ для некоторого простого числа $q$.
2) $N = q_1^2 \cdot q_2$ для некоторых различных простых чисел $q_1$ и $q_2$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: $p^2 + 11 = q^5$
Если $p=2$, то $p^2 + 11 = 2^2 + 11 = 15$. Число 15 не является пятой степенью какого-либо простого числа.
Если $p$ — нечетное простое число, то $p^2$ — нечетное число. Тогда $p^2 + 11$ — четное число. Следовательно, единственный простой множитель $q$ должен быть равен 2.
Получаем уравнение: $p^2 + 11 = 2^5 = 32$.
Отсюда $p^2 = 32 - 11 = 21$. Число 21 не является квадратом целого числа, значит, $p$ не является целым, а следовательно, и не простым.
Таким образом, в этом случае решений нет.

Случай 2: $p^2 + 11 = q_1^2 \cdot q_2$
Проверим несколько первых простых значений $p$.
• При $p=2$: $p^2 + 11 = 2^2 + 11 = 15 = 3^1 \cdot 5^1$. Число делителей $\tau(15) = (1+1)(1+1) = 4$, что не равно 6.
• При $p=3$: $p^2 + 11 = 3^2 + 11 = 20 = 2^2 \cdot 5^1$. Число делителей $\tau(20) = (2+1)(1+1) = 6$. Это соответствует условию задачи. Значит, $p=3$ является решением.

Теперь рассмотрим случай, когда $p$ — простое число, большее 3 ($p > 3$).
Если $p > 3$, то $p$ не делится на 3. Следовательно, остаток от деления $p$ на 3 равен 1 или 2. В любом из этих случаев $p^2$ дает остаток 1 при делении на 3 (т.е. $p^2 \equiv 1 \pmod 3$).
Тогда $p^2 + 11 \equiv 1 + 11 \pmod 3 \equiv 12 \pmod 3 \equiv 0 \pmod 3$.
Это означает, что число $p^2 + 11$ делится на 3. Следовательно, один из его простых множителей ($q_1$ или $q_2$) должен быть равен 3.

Подслучай 2.1: $q_1 = 3$
Уравнение принимает вид $p^2 + 11 = 3^2 \cdot q_2 = 9q_2$, где $q_2$ — простое число, не равное 3.
Выразим $p^2$: $p^2 = 9q_2 - 11$.
Так как $p > 3$, $p$ — нечетное простое число. Квадрат любого нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1, то есть $p^2 \equiv 1 \pmod 8$.
Рассмотрим уравнение по модулю 8:
$p^2 \equiv 9q_2 - 11 \pmod 8$
$1 \equiv (1)q_2 - 3 \pmod 8$
$q_2 \equiv 4 \pmod 8$.
Это означает, что $q_2$ должно быть кратно 4, что невозможно для простого числа. Следовательно, в этом подслучае решений нет.

Подслучай 2.2: $q_2 = 3$
Уравнение принимает вид $p^2 + 11 = q_1^2 \cdot 3 = 3q_1^2$, где $q_1$ — простое число, не равное 3.
Выразим $p^2$: $p^2 = 3q_1^2 - 11$.
Так как $p > 3$, $p$ — нечетное простое число, и $p^2 \equiv 1 \pmod 4$.
Рассмотрим два варианта для $q_1$:
• Если $q_1 = 2$, то $p^2 = 3(2^2) - 11 = 12 - 11 = 1$. Отсюда $p=1$, что не является простым числом.
• Если $q_1$ — нечетное простое число (т.е. $q_1 \ge 5$), то $q_1^2 \equiv 1 \pmod 4$.
Рассмотрим уравнение по модулю 4:
$p^2 \equiv 3q_1^2 - 11 \pmod 4$
$1 \equiv 3(1) - 3 \pmod 4$
$1 \equiv 0 \pmod 4$.
Получено противоречие. Следовательно, в этом подслучае также нет решений.

Мы рассмотрели все возможные случаи и обнаружили, что единственным простым числом $p$, удовлетворяющим условию задачи, является $p=3$.

Ответ: $p=3$.