gdz.top
Номер 49.21, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 49. Простые и составные числа - номер 49.21, страница 383.
№49.20
№49.21 (с. 383)
Условие. №49.21 (с. 383)
49.21. Используя малую теорему Ферма, найдите остаток от деления числа a на число b, если:
1) $a=5^{52}$, $b=53$;
2) $a=2^{47}$, $b=41$.
Решение. №49.21 (с. 383)
1) $a = 5^{52}, b = 53$
Требуется найти остаток от деления числа $a$ на число $b$, то есть найти значение выражения $5^{52} \pmod{53}$.
Малая теорема Ферма утверждает, что если $p$ — простое число, и целое число $a$ не делится на $p$, то справедливо сравнение: $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.
В данном случае $p = 53$, что является простым числом. Основание степени $a = 5$ не делится на $53$. Следовательно, все условия для применения малой теоремы Ферма выполнены.
Подставим наши значения в формулу теоремы:
$5^{53-1} \equiv 1 \pmod{53}$
$5^{52} \equiv 1 \pmod{53}$
Это означает, что остаток от деления $5^{52}$ на $53$ равен 1.
Ответ: 1
2) $a = 2^{47}, b = 41$
Требуется найти остаток от деления числа $a$ на число $b$, то есть найти значение выражения $2^{47} \pmod{41}$.
Воспользуемся малой теоремой Ферма. Здесь модуль $p = 41$ является простым числом, а основание степени $a = 2$ не делится на $41$. Условия теоремы соблюдены.
Согласно малой теореме Ферма:
$2^{41-1} \equiv 1 \pmod{41}$
$2^{40} \equiv 1 \pmod{41}$
Теперь представим $2^{47}$ через $2^{40}$:
$2^{47} = 2^{40+7} = 2^{40} \cdot 2^7$
Рассмотрим это выражение по модулю 41:
$2^{47} \equiv 2^{40} \cdot 2^7 \pmod{41}$
Так как $2^{40} \equiv 1 \pmod{41}$, мы можем заменить $2^{40}$ на 1 в сравнении:
$2^{47} \equiv 1 \cdot 2^7 \pmod{41}$
$2^{47} \equiv 2^7 \pmod{41}$
Теперь вычислим значение $2^7$ и найдем остаток от его деления на 41.
$2^7 = 128$
Разделим 128 на 41 с остатком:
$128 = 3 \cdot 41 + 5$
Остаток от деления равен 5, следовательно, $128 \equiv 5 \pmod{41}$.
Таким образом, $2^{47} \equiv 5 \pmod{41}$.
Ответ: 5
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 49.21 расположенного на странице 383 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49.21 (с. 383), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.