Номер 49.26, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

49.26. Докажите, что $p^q + q^p \equiv (p + q) \pmod{pq}$, где $p$ и $q$ — различные простые числа.

Чтобы доказать сравнение $p^q + q^p \equiv p + q \pmod{pq}$, где $p$ и $q$ — различные простые числа, нам нужно показать, что разность $(p^q + q^p) - (p + q)$ делится на $pq$. Поскольку $p$ и $q$ — различные простые числа, они взаимно просты. Следовательно, для того чтобы число делилось на $pq$, достаточно и необходимо, чтобы оно делилось на $p$ и на $q$ по отдельности.

1. Докажем, что $p^q + q^p \equiv p + q \pmod{p}$.
Рассмотрим левую и правую части сравнения по модулю $p$.
Левая часть: $p^q + q^p$. Так как $p^q$ содержит множитель $p$, то $p^q \equiv 0 \pmod{p}$. Выражение упрощается до $0 + q^p \equiv q^p \pmod{p}$.
Согласно Малой теореме Ферма, поскольку $p$ — простое число, для любого целого числа $q$ выполняется $q^p \equiv q \pmod{p}$.
Таким образом, левая часть сравнима с $q$: $p^q + q^p \equiv q \pmod{p}$.
Правая часть: $p + q$. По модулю $p$ имеем $p + q \equiv 0 + q \equiv q \pmod{p}$.
Поскольку и левая, и правая части сравнения сравнимы с $q$ по модулю $p$, то сравнение $p^q + q^p \equiv p + q \pmod{p}$ является верным.

2. Докажем, что $p^q + q^p \equiv p + q \pmod{q}$.
Рассмотрим левую и правую части сравнения по модулю $q$.
Левая часть: $p^q + q^p$. Так как $q^p$ содержит множитель $q$, то $q^p \equiv 0 \pmod{q}$. Выражение упрощается до $p^q + 0 \equiv p^q \pmod{q}$.
Согласно Малой теореме Ферма, поскольку $q$ — простое число, для любого целого числа $p$ выполняется $p^q \equiv p \pmod{q}$.
Таким образом, левая часть сравнима с $p$: $p^q + q^p \equiv p \pmod{q}$.
Правая часть: $p + q$. По модулю $q$ имеем $p + q \equiv p + 0 \equiv p \pmod{q}$.
Поскольку и левая, и правая части сравнения сравнимы с $p$ по модулю $q$, то сравнение $p^q + q^p \equiv p + q \pmod{q}$ также является верным.

Заключение.
Мы показали, что разность $(p^q + q^p) - (p + q)$ делится как на $p$, так и на $q$. Поскольку $p$ и $q$ — различные простые числа, они взаимно просты (т.е. $НОД(p, q) = 1$). Если целое число делится на два взаимно простых числа, оно делится и на их произведение. Следовательно, $(p^q + q^p) - (p + q)$ делится на $pq$.
Это по определению означает, что $p^q + q^p \equiv p + q \pmod{pq}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на Малой теореме Ферма. Сравнение доказывается сначала по модулю $p$, а затем по модулю $q$. Так как $p$ и $q$ — различные (а значит, взаимно простые) простые числа, из справедливости сравнения по каждому из этих модулей следует его справедливость по модулю их произведения $pq$.