Номер 49.25, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

49.25. Докажите, что значение выражения $42^{47} + 47^{42}$ является составным числом.

Для того чтобы доказать, что число является составным, необходимо показать, что оно имеет хотя бы один делитель, отличный от единицы и самого себя. Мы покажем, что данное число делится на 43. Для этого воспользуемся свойствами сравнений по модулю.

Рассмотрим выражение $N = 42^{47} + 47^{42}$ по модулю 43.

1. Анализ первого слагаемого $42^{47}$.
Число 42 можно представить как $43 - 1$. Следовательно, справедливо сравнение:$42 \equiv -1 \pmod{43}$Возведем обе части сравнения в степень 47:$42^{47} \equiv (-1)^{47} \pmod{43}$Так как 47 — нечетное число, то $(-1)^{47} = -1$. Таким образом, получаем:$42^{47} \equiv -1 \pmod{43}$

2. Анализ второго слагаемого $47^{42}$.
Число 47 можно представить как $43 + 4$. Следовательно, справедливо сравнение:$47 \equiv 4 \pmod{43}$Возведем обе части сравнения в степень 42:$47^{42} \equiv 4^{42} \pmod{43}$

Для дальнейшего упрощения воспользуемся малой теоремой Ферма, которая утверждает, что если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$, не делящегося на $p$, выполняется сравнение $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. В нашем случае $p = 43$ является простым числом, а $a = 4$ не делится на 43. Применяя теорему, получаем:$4^{43-1} \equiv 1 \pmod{43}$$4^{42} \equiv 1 \pmod{43}$Следовательно, и $47^{42} \equiv 1 \pmod{43}$.

3. Сложение результатов.
Теперь сложим остатки от деления обоих слагаемых на 43:$42^{47} + 47^{42} \equiv (-1) + 1 \pmod{43}$$42^{47} + 47^{42} \equiv 0 \pmod{43}$Это означает, что значение выражения $42^{47} + 47^{42}$ делится на 43 без остатка.

Поскольку $42^{47}$ и $47^{42}$ — положительные числа, их сумма $42^{47} + 47^{42}$ очевидно больше, чем 43. Так как мы нашли делитель (число 43), который не равен 1 и не равен самому числу, то по определению число $42^{47} + 47^{42}$ является составным.

Ответ: Утверждение доказано.