gdz.top
Номер 49.22, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 49. Простые и составные числа - номер 49.22, страница 383.
№49.21
№49.22 (с. 383)
Условие. №49.22 (с. 383)
49.22. Докажите, что число $24^{24} - 1$ кратно 35.
Решение. №49.22 (с. 383)
Чтобы доказать, что число $24^{24} - 1$ кратно 35, достаточно доказать, что оно делится на 5 и на 7, так как $35 = 5 \cdot 7$ и числа 5 и 7 являются взаимно простыми.
Сначала докажем делимость на 5. Для этого рассмотрим выражение по модулю 5. Число 24 при делении на 5 дает в остатке 4, что можно записать как $24 \equiv 4 \pmod{5}$. Удобнее использовать сравнение $24 \equiv -1 \pmod{5}$. Тогда $24^{24} \equiv (-1)^{24} \pmod{5}$. Так как 24 – четное число, $(-1)^{24} = 1$. Следовательно, $24^{24} \equiv 1 \pmod{5}$, а это значит, что $24^{24} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{5}$. Таким образом, число $24^{24} - 1$ делится на 5.
Теперь докажем делимость на 7. Рассмотрим выражение по модулю 7. Число 24 при делении на 7 дает в остатке 3, то есть $24 \equiv 3 \pmod{7}$. Тогда $24^{24} \equiv 3^{24} \pmod{7}$. Воспользуемся Малой теоремой Ферма, согласно которой $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ для простого числа $p$ и целого числа $a$, не делящегося на $p$. Для $p=7$ и $a=3$ имеем: $3^{7-1} \equiv 3^6 \equiv 1 \pmod{7}$. Представим степень 24 как $24 = 6 \cdot 4$. Тогда $3^{24} = (3^6)^4 \equiv 1^4 \equiv 1 \pmod{7}$. Значит, $24^{24} \equiv 1 \pmod{7}$, и $24^{24} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{7}$. Таким образом, число $24^{24} - 1$ делится на 7.
Поскольку число $24^{24} - 1$ делится и на 5, и на 7, а числа 5 и 7 взаимно простые, то оно делится и на их произведение, то есть на 35.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 49.22 расположенного на странице 383 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49.22 (с. 383), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.