gdz.top
Номер 49.20, страница 383 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 6. Приложение. Элементы теории чисел. Метод математической индукции. Параграф 49. Простые и составные числа - номер 49.20, страница 383.
№49.19
№49.20 (с. 383)
Условие. №49.20 (с. 383)
49.20. Докажите, что при любом натуральном $a$ значение выражения $a^{57} - 39a^3$ кратно 19.
Решение. №49.20 (с. 383)
Чтобы доказать, что значение выражения $a^{57} - 39a^3$ кратно 19 при любом натуральном $a$, необходимо показать, что остаток от деления этого выражения на 19 равен нулю. В терминах теории чисел это означает, что нам нужно доказать сравнение: $a^{57} - 39a^3 \equiv 0 \pmod{19}$.
Рассмотрим данное выражение по модулю 19. В первую очередь, упростим коэффициент 39, найдя его остаток от деления на 19: $39 = 2 \cdot 19 + 1$. Отсюда следует, что $39 \equiv 1 \pmod{19}$.
Теперь мы можем подставить это значение в исходное выражение: $a^{57} - 39a^3 \equiv a^{57} - 1 \cdot a^3 \pmod{19}$, $a^{57} - 39a^3 \equiv a^{57} - a^3 \pmod{19}$.
Теперь задача сводится к доказательству того, что $a^{57} - a^3$ делится на 19. Для этого воспользуемся Малой теоремой Ферма, которая гласит: если $p$ — простое число, то для любого целого числа $a$ выполняется сравнение $a^p \equiv a \pmod{p}$.
Поскольку 19 — простое число, то по Малой теореме Ферма для любого натурального $a$ справедливо: $a^{19} \equiv a \pmod{19}$.
Рассмотрим степень 57 в первом члене нашего выражения. Мы можем представить 57 как $3 \cdot 19$. Тогда: $a^{57} = a^{3 \cdot 19} = (a^{19})^3$.
Используя установленное ранее сравнение $a^{19} \equiv a \pmod{19}$, возведем обе его части в третью степень: $(a^{19})^3 \equiv a^3 \pmod{19}$. Следовательно, мы получаем, что $a^{57} \equiv a^3 \pmod{19}$.
Подставим полученный результат в наше выражение: $a^{57} - a^3 \equiv a^3 - a^3 \equiv 0 \pmod{19}$.
Таким образом, мы доказали, что $a^{57} - 39a^3 \equiv 0 \pmod{19}$ для любого натурального числа $a$, а это означает, что значение выражения $a^{57} - 39a^3$ всегда кратно 19.
Ответ: Что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 49.20 расположенного на странице 383 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №49.20 (с. 383), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.